Bonjour,juste une question de sens: Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I et soit a un point de I. Quel est le sens exacte de "f intégrable au voisinage de a" (au sens de Riemann)?
Merci d'avance.
Si tu en as besoin, pas de problème :
Si f est intégrable sur $]a-\epsilon;a+\epsilon[$, elle est intégrable sur $[a-\frac{\epsilon} 2 ;a+\frac{\epsilon} 2 ]$.
Les fonctions intégrables au sens de Riemann sont en particulier {\bf définies sur un segment $[a,b]$ et bornées}. Donc $f$ définie sur un intervalle $I$ est dite intégrable au sens de Riemann au voisinage de $a\in I$ s'il existe $\varepsilon>0$ tel que $[a-\varepsilon,a+\varepsilon]\subset I$ et la restriction de $f$ à $[a-\varepsilon,a+\varepsilon]$ soit intégrable au sens de Riemann ; si $a$ n'est pas intérieur à $I$, on doit remplacer $[a-\varepsilon,a+\varepsilon]$ par le segment $[a-\varepsilon,a+\varepsilon]\cap I$.
Merci pour vos réponses. Maintenant supposons f une fonction de I =[a,+infini[ (a un réel quelconque) dans R telle que f soit localement intégrable. Peut-on dire alors que f est "intégrable au voisinage de a"? Selon vos définitions, je pense que non...?
Réponses
Cela veut dire qu'il existe un intervalle J, contenu dans I, et tel que a est dans son intérieur, qui permet de dire "f est intégrable sur J".
Cordialement.
NB : Classiquement, "au voisinage de a" veut dire "sur un intervalle ouvert contenant a".
Si f est intégrable sur $]a-\epsilon;a+\epsilon[$, elle est intégrable sur $[a-\frac{\epsilon} 2 ;a+\frac{\epsilon} 2 ]$.
Cordialement
On peut le dire , cela signifie qu'il existe $c>a$ tel que $f$ soit intégrable sur $[a,c]$.