Effectivement, dans ce cas les isométries entre espaces vectoriels euclidiens sont des applications linéaires. Tout simplement parce que si tu prends une base orthonormée, les coordonnées d'un vecteur selon cette base sont ses produits scalaires avec les vecteurs de base.
PS: Je ne vous raconte pas comment il m'a regardé quand j'ai dit que je trouvais ca bizarre.
Qui "il"?
Sinon, adapte la "preuve" rigolote suivante (accessible à des quatirèmes) que tout isométire est affine, issue de l'axiome que le plus court chemin est la ligne droite, et que ne pas le suivre rallonge au moins un peu:
A,B,C alignés --->f(A),f(B,f(C) aussi car dist(f(A),f(B))+dist(f(B),f(C))=dist(f(A),f(C))
Sinon, pour le reste, c'est de l'exploration de mouche sur les définitions** (les distances "rondes" sont "presque" issues de "produits scalaires", Banach réflexifs etc..)
(je suppose que ton prof est idéologue et "veut" appeler "isométrie" un truc qui préserve les normes et pas le distances.. Enfin peut-être
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Bonsoir à tous,
Cher Grotik. Une isométrie est une application f: Ed -> Fd' telle que ttx,y € E: d'[f(x),f(y)] = d(x,y). Cela dans le cadre d'espaces métriques. La notion est évidemment purement métrique.
Une isométrie est injective (mais pas obligatoirement surjective: Dieudonné ne considère que des isométries surjectives, c'est à noter).
Le résultat auquel tu sembles faire allusion, mais ta question n'est pas claire, c'est le moins qu'on peut dire) est (probablement) le suivant: Théorème (Mazur, Ulam) Soit f: (E,ll.ll) -> (F,ll.ll), où les espaces sont des espaces normés réels) une isométrie surjective: f est une application affine.
Donc si f(0) = 0, f est linéaire.
La preuve n'est ni difficile ni triviale (livre de Banach).
Le résultat est faux pour des espaces complexes:
f: C -> C, z -> z* (conjugué).
Par ailleurs, si f: (E,(.l.)) -> (F,[.l.]), on a (facile):
{f linéaire et isométrique} <=> ttx,y € E: [f(x)lf(y)] = (xly).
Bien cordialement.
J'ai bien précisé qu'il s'agissait d'applications entre espaces vectoriels euclidiens, c'est-à-dire des espaces réels. Dans le cas d'espaces métriques plus généraux, la question n'a plus de sens puisqu'il n'y a plus de raison d'avoir une structure vectorielle.
Bonne nuit,
Il me semble que ce fil n'a pas la perfection habituelle sur le phörûm. En fait, ça part dans tous les sens. :S
Le fait que la question initiale n'est même pas posée n'est pas étrangère à l'affaire...
@ cc. R2 est réflexif pour toute norme, mais ll(x,y)ll = lxl + lyl n'est pas spécialement ronde.
Merci CP, mais je ne prétendais pas le contraire, j'essayais de comprendre la motivation politique qui voulait appeler "isométries" des applications qui conservent norme dans un ev, et pas seulement distance, donc j'évoquais tous les aspects culturels éventuellement éloignés)
En dimension finie, il n'y a qu'une seule topologie séparée possible pour un ev, qui en fasse un evt (pour les corps routiniers). Enfin, je n'ai pas vérifé, je dis ça au nez.
Par contre, comme Bruno avait répondu parfaitement pour la dim finie (me semble-t-il**) avec une base orthonormée, je voulais évoquer un argument "affine" applicable à la dimension quelconque, de quelques lignes, lui-même accessble tel quel au collège (sans évoquer la généralité) et de plus, l'axiome que j'ai utilisé (il n'y a qu'un seul plus court chemin) est très proche de la notion de boules assez rondes (qui empèche qu'il y en ait plusieurs).
** Remarque: sur le coup, je n'ai pas réfléchi si l'argument de Bruno passe tel quel aux Hilbert quelconques, c'est bien possible
EDIT: il est vrai que j'ai été maladroit en suggérant une sorte de "conjecture informelle" du type "rondeur---->produit scalaire", alors que j'aurais dû dire: "rondeur---->efficacité topologique du produit scalaire "
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
à CP, je lis à l'instant que tu évoques un théorème (Ulam Mazur) qui dit qu'avec norme quelconque, on peut encore prouver l'affinité. Je ne l'avais pas lu tout à l'heure, je comprends mieux ton message
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
$<f(x),f(y)>=<x,y>$
Bruno
Ceci n’est un spam.
-- Schnoebelen, Philippe
Qui "il"?
Sinon, adapte la "preuve" rigolote suivante (accessible à des quatirèmes) que tout isométire est affine, issue de l'axiome que le plus court chemin est la ligne droite, et que ne pas le suivre rallonge au moins un peu:
A,B,C alignés --->f(A),f(B,f(C) aussi car dist(f(A),f(B))+dist(f(B),f(C))=dist(f(A),f(C))
Sinon, pour le reste, c'est de l'exploration de mouche sur les définitions** (les distances "rondes" sont "presque" issues de "produits scalaires", Banach réflexifs etc..)
(je suppose que ton prof est idéologue et "veut" appeler "isométrie" un truc qui préserve les normes et pas le distances.. Enfin peut-être
Cher Grotik. Une isométrie est une application f: Ed -> Fd' telle que ttx,y € E: d'[f(x),f(y)] = d(x,y). Cela dans le cadre d'espaces métriques. La notion est évidemment purement métrique.
Une isométrie est injective (mais pas obligatoirement surjective: Dieudonné ne considère que des isométries surjectives, c'est à noter).
Le résultat auquel tu sembles faire allusion, mais ta question n'est pas claire, c'est le moins qu'on peut dire) est (probablement) le suivant:
Théorème (Mazur, Ulam) Soit f: (E,ll.ll) -> (F,ll.ll), où les espaces sont des espaces normés réels) une isométrie surjective: f est une application affine.
Donc si f(0) = 0, f est linéaire.
La preuve n'est ni difficile ni triviale (livre de Banach).
Le résultat est faux pour des espaces complexes:
f: C -> C, z -> z* (conjugué).
Par ailleurs, si f: (E,(.l.)) -> (F,[.l.]), on a (facile):
{f linéaire et isométrique} <=> ttx,y € E: [f(x)lf(y)] = (xly).
Bien cordialement.
Bruno
Il me semble que ce fil n'a pas la perfection habituelle sur le phörûm. En fait, ça part dans tous les sens. :S
Le fait que la question initiale n'est même pas posée n'est pas étrangère à l'affaire...
@ cc. R2 est réflexif pour toute norme, mais ll(x,y)ll = lxl + lyl n'est pas spécialement ronde.
Bien cordialement à tous.
En dimension finie, il n'y a qu'une seule topologie séparée possible pour un ev, qui en fasse un evt (pour les corps routiniers). Enfin, je n'ai pas vérifé, je dis ça au nez.
Par contre, comme Bruno avait répondu parfaitement pour la dim finie (me semble-t-il**) avec une base orthonormée, je voulais évoquer un argument "affine" applicable à la dimension quelconque, de quelques lignes, lui-même accessble tel quel au collège (sans évoquer la généralité) et de plus, l'axiome que j'ai utilisé (il n'y a qu'un seul plus court chemin) est très proche de la notion de boules assez rondes (qui empèche qu'il y en ait plusieurs).
** Remarque: sur le coup, je n'ai pas réfléchi si l'argument de Bruno passe tel quel aux Hilbert quelconques, c'est bien possible
EDIT: il est vrai que j'ai été maladroit en suggérant une sorte de "conjecture informelle" du type "rondeur---->produit scalaire", alors que j'aurais dû dire: "rondeur---->efficacité topologique du produit scalaire "
Merci à Guego pour sa référence de qualité.
Bonne continuation.
B. L.