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Les isométries sont toutes linéaires

Envoyé par Grotik 
Les isométries sont toutes linéaires
il y a cinq années
Bonjour,

Comment cela se fait il? Et je précise bien, que ce n'est pas affine qu'il a dit, mais bien linéaire.
Est ce vrai?

PS: Je ne vous raconte pas comment il m'a regardé quand j'ai dit que je trouvais ca bizarre.


Merci
Re: Les isométries sont toutes linéaires
il y a cinq années
Tout dépend de ta définition d'isométrie...
Re: Les isométries sont toutes linéaires
il y a cinq années
Ma définition a moi, c'est que si j'ai deux espaces (chacun avec son prod scalaire) alors f est une isométrie si

$<f(x),f(y)>=<x,y>$
Re: Les isométries sont toutes linéaires
il y a cinq années
avatar
Effectivement, dans ce cas les isométries entre espaces vectoriels euclidiens sont des applications linéaires. Tout simplement parce que si tu prends une base orthonormée, les coordonnées d'un vecteur selon cette base sont ses produits scalaires avec les vecteurs de base.

Bruno



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Bruno.
Re: Les isométries sont toutes linéaires
il y a cinq années
avatar
Pour moi, une isométrie conserve les distances, que l’espace soit muni d’un produit scalaire ou pas. Mais dans son cas… pas de problème.

Ceci n’est un spam.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Les isométries sont toutes linéaires
il y a cinq années
Citation

qu'il a dit, mais bien linéaire.
Est ce vrai?

PS: Je ne vous raconte pas comment il m'a regardé quand j'ai dit que je trouvais ca bizarre.

Qui "il"?

Sinon, adapte la "preuve" rigolote suivante (accessible à des quatirèmes) que tout isométire est affine, issue de l'axiome que le plus court chemin est la ligne droite, et que ne pas le suivre rallonge au moins un peu:

A,B,C alignés --->f(A),f(B,f(C) aussi car dist(f(A),f(B))+dist(f(B),f(C))=dist(f(A),f(C))

Sinon, pour le reste, c'est de l'exploration de mouche sur les définitions** (les distances "rondes" sont "presque" issues de "produits scalaires", Banach réflexifs etc..)

(je suppose que ton prof est idéologue et "veut" appeler "isométrie" un truc qui préserve les normes et pas le distances.. Enfin peut-être
Re: Les isométries sont toutes linéaires
il y a cinq années
avatar
Bonsoir à tous,
Cher Grotik. Une isométrie est une application f: Ed -> Fd' telle que ttx,y € E: d'[f(x),f(y)] = d(x,y). Cela dans le cadre d'espaces métriques. La notion est évidemment purement métrique.
Une isométrie est injective (mais pas obligatoirement surjective: Dieudonné ne considère que des isométries surjectives, c'est à noter).
Le résultat auquel tu sembles faire allusion, mais ta question n'est pas claire, c'est le moins qu'on peut dire) est (probablement) le suivant:
Théorème (Mazur, Ulam) Soit f: (E,ll.ll) -> (F,ll.ll), où les espaces sont des espaces normés réels) une isométrie surjective: f est une application affine.
Donc si f(0) = 0, f est linéaire.
La preuve n'est ni difficile ni triviale (livre de Banach).
Le résultat est faux pour des espaces complexes:
f: C -> C, z -> z* (conjugué).
Par ailleurs, si f: (E,(.l.)) -> (F,[.l.]), on a (facile):
{f linéaire et isométrique} <=> ttx,y € E: [f(x)lf(y)] = (xly).
Bien cordialement. :)
Re: Les isométries sont toutes linéaires
il y a cinq années
avatar
J'ai bien précisé qu'il s'agissait d'applications entre espaces vectoriels euclidiens, c'est-à-dire des espaces réels. Dans le cas d'espaces métriques plus généraux, la question n'a plus de sens puisqu'il n'y a plus de raison d'avoir une structure vectorielle.

Bruno
Re: Les isométries sont toutes linéaires
il y a cinq années
avatar
Bonne nuit,
Il me semble que ce fil n'a pas la perfection habituelle sur le phörûm. En fait, ça part dans tous les sens. :S
Le fait que la question initiale n'est même pas posée n'est pas étrangère à l'affaire...

@ cc. R2 est réflexif pour toute norme, mais ll(x,y)ll = lxl + lyl n'est pas spécialement ronde.

Bien cordialement à tous. :)
Re: Les isométries sont toutes linéaires
il y a cinq années
Merci CP, mais je ne prétendais pas le contraire, j'essayais de comprendre la motivation politique qui voulait appeler "isométries" des applications qui conservent norme dans un ev, et pas seulement distance, donc j'évoquais tous les aspects culturels éventuellement éloignés)

En dimension finie, il n'y a qu'une seule topologie séparée possible pour un ev, qui en fasse un evt (pour les corps routiniers). Enfin, je n'ai pas vérifé, je dis ça au nez.

Par contre, comme Bruno avait répondu parfaitement pour la dim finie (me semble-t-il**) avec une base orthonormée, je voulais évoquer un argument "affine" applicable à la dimension quelconque, de quelques lignes, lui-même accessble tel quel au collège (sans évoquer la généralité) et de plus, l'axiome que j'ai utilisé (il n'y a qu'un seul plus court chemin) est très proche de la notion de boules assez rondes (qui empèche qu'il y en ait plusieurs).

** Remarque: sur le coup, je n'ai pas réfléchi si l'argument de Bruno passe tel quel aux Hilbert quelconques, c'est bien possible

EDIT: il est vrai que j'ai été maladroit en suggérant une sorte de "conjecture informelle" du type "rondeur---->produit scalaire", alors que j'aurais dû dire: "rondeur---->efficacité topologique du produit scalaire "



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe chalons.
Re: Les isométries sont toutes linéaires
il y a cinq années
à CP, je lis à l'instant que tu évoques un théorème (Ulam Mazur) qui dit qu'avec norme quelconque, on peut encore prouver l'affinité. Je ne l'avais pas lu tout à l'heure, je comprends mieux ton message
Re: Les isométries sont toutes linéaires
il y a cinq années
On trouve une démonstration du théorème de Mazur-Ulam ici : [www.helsinki.fi]\~{}jvaisala/mazurulam.pdf
Re: Les isométries sont toutes linéaires
il y a cinq années
Merci Guego, il est sympa et pas tout à fait trivial ce théorème. Il fallait y penser à rajouter "surjective".
Re: Les isométries sont toutes linéaires
il y a cinq années
avatar
Bonne soirée à tous les phörûmeurs,
Merci à Guego pour sa référence de qualité. :)
Bonne continuation.
B. L.
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