problème de dérivabilité
Bonjour,
je me pose une question :
soit $f \in L^1([0,1])$ et
$$F(x)=\int_0^x f(t) dt \quad(x\in[0;1]).$$
La fonction $F$ est absolument continue donc, pour presque tout x,
$F$ est dérivable en $x$ et $F'(x)=f(x)$.
Peut-on trouver $f$ et $x$ tels que $F$ est dérivable en $x$ mais $F'(x)\not = f(x)$ ?
Merci d'avance pour votre aide.
Bruno
je me pose une question :
soit $f \in L^1([0,1])$ et
$$F(x)=\int_0^x f(t) dt \quad(x\in[0;1]).$$
La fonction $F$ est absolument continue donc, pour presque tout x,
$F$ est dérivable en $x$ et $F'(x)=f(x)$.
Peut-on trouver $f$ et $x$ tels que $F$ est dérivable en $x$ mais $F'(x)\not = f(x)$ ?
Merci d'avance pour votre aide.
Bruno
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Réponses
Que se passe-t-il si \(f\) est l'indicatrice des rationnels ?
La prochaine fois, je réfléchirais un peu.... !
Merci,
Bruno
Si oui (ce que je suppose de mémoire), quelqu'un peut-il rappeler en deux, trois mots le principe de la preuve ? A vue de nez, je dirais en le montrant d'abord pour les fonctions étagées puis pour tout le monde par densité.
[La case LaTeX. AD]
La demonstration est detaillée dans l'ex http://math1.unice.fr/\~{}bertheli/Page_Web/Agreg/FeuillesTD/TravailSemaineFevrier.pdf
http://math1.unice.fr/\~{}bertheli/Page_Web/Agreg/FeuillesTD/TravailSemaineFevrier.pdf