Tribu engendrée par une partition
Bonsoir, il y a quelque chose que je ne comprends pas dans le phénomène suivant :
Soit $E$ un ensemble et $(A_i)$ pour $i\in\{1,2,3\}$ une partition de de $E$ alors $\sigma(\{A_1,A_2,A_3\})=\{\varnothing,E,A_1,A_2,A_3,A_1\cup A_2,A_1\cup A_3, A_2\cup A_3\}$
pour moi la tribu engendrée est l'intersection de toutes les tribus contenant $\{A_1,A_2,A_3\}$ c'est à dire la plus petite contenant $\{A_1,A_2,A_3\}$ or ce dernier ensemble c'est $E$ lui même puisque les $A_i$ forment une partition de $E$ donc pourquoi la tribu engendrée n'est pas $\{\varnothing,E\}$ tout simplement ?
Merci
Soit $E$ un ensemble et $(A_i)$ pour $i\in\{1,2,3\}$ une partition de de $E$ alors $\sigma(\{A_1,A_2,A_3\})=\{\varnothing,E,A_1,A_2,A_3,A_1\cup A_2,A_1\cup A_3, A_2\cup A_3\}$
pour moi la tribu engendrée est l'intersection de toutes les tribus contenant $\{A_1,A_2,A_3\}$ c'est à dire la plus petite contenant $\{A_1,A_2,A_3\}$ or ce dernier ensemble c'est $E$ lui même puisque les $A_i$ forment une partition de $E$ donc pourquoi la tribu engendrée n'est pas $\{\varnothing,E\}$ tout simplement ?
Merci
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Réponses
Oula, tu confonds "partition" d'un ensemble et l'ensemble lui-même.
L'ensemble des éléments de $E$, dans ton post, on ne les connait pas. Le triplet dont tu parles est un AUTRE ensemble, qui est inclus dans $P(E)$ (l'ensemble des parties de $E$).
La question avait été posée, il y a une quinzaine de jours, pour une partition arbitraire de E: E = Ui€I Ai, Ai inter Aj = vide pour tous i,j de I.
Said Fubini avait dit que la tribu engendrée par la partition est l'ensemble des Uj€J Aj, où J contenu dans {1. ... ,n}.
Je crois plutôt qu'il faut prendre J contenu dans {1, ... ,n, ... } = lN. Non ?
Contredire le seigneur des anneaux (de Boole)! :-(:S, c'est gonflé.
Bien cordialement.
Ainsi, la tribu est en bijection avec $\mathcal{P}(\N)$.
En revanche, dans le cas où $I$ est non dénombrable, il faut se restreindre à $J$ dénombrable ou de complémentaire $I\backslash J$ dénombrable.
@ aléa: comme je considérais un I arbitraire, je n'ai pas tout à fait raison... Merci d'avoir rectifié.
En plus j'aurais dû dire J C I, J dénombrable, et non J C lN.
Mais, cerise sur le gâteau, la question initiale portait sur I fini, et donc Said Fubini avait raison (ça m'étonnait, d'ailleurs, cette erreur de sa part).
Bref, j'ai tout lieu de penser que je ne suis pas très bon en théorie de la mesure. :-(
Mon seul mérite est d'avoir relancé cet exercice.
Bien cordialement.
Comme toujours, je te rappelle de lire la charte et de la mettre en pratique : Qu'as-tu fait, qu'est-ce qui te bloques ?
Cordialement.
NB : Un forum est un lien entre des gens, ce n'est pas un automate correcteur d'exercices.
Par définition, la tribu engendrée (qui est obtenue; et non pas qui engendre) par A est la plus petite tribu contenant A, ou encore, c'est l'intersection de toutes les tribus contenant A.
Donc à toi de démarrer.
Cordialement.
NB : Le sujet n'est pas lisible sur le forum.