Merci gerard0, j'étais un peu distrait... Mais le fond de la preuve est la même, on conclut les fonctions f et g sont constantes, ce qui est contradictoire.
oui Nyx, j'ai compris ton idée, je ne devais vraiment pas être réveillé pour ne pas voir çà mais je vois que je ne suis pas le seul.
si a=0, f(0)<>0(à condition que l'on se place sur un anneau intègre, la question peut rester intéressante sur un anneau non intègre peut être) puis pour tout b,
g(b)=1/f(0) donc constante et vice versa pour b=0, on a pour tout a, f(a)=1/g(0)
or cos(a*b) n'est pas constante.
Sinon une façon sympa d'exprimer cos(a*b) ne vous viendrait pas à l'idée.
existe-t-il un polynome $P(X,Y)$ et des fonctions $f,g$ tels que $\forall a,b: cos(ab)=P(f(a);f(b))$ (sur le fond, je pense que c'est ce que l'auteur espère non?)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Et bien je ne crois pas que cela soit possible (avec des polynômes).
Je m'explique : Supposons que cela soit possible avec $P$ de degré $n$ et deux fonctions $f,g$.
En considérant $a=2\pi k$ avec $k$ entier, on obtient que $g(b)$ est une constante sur les entiers (on construit un système libre de $n+1$ équations polynomiales). On fait de même pour $f$. Si on n'arrivait pas à créer un système libre, c'est que $f$ était $2\pi$ périodique, ce qui est contradictoire en considérant les couples $(a,b)$ et $(a+2\pi, b)$ avec $b=n+0.1$.
Or $(a,b)\in\mathbb{N}^2\rightarrow cos(ab)$ n'est pas constante, on arrive à une contradiction
Ma démonstration mériterait d'être bien formalisée, mais je crois que l'idée est là
cos( a*b) = cos( b + b + ... +b) ou cos (a + .... + a) et exprimer cos(a*b) sous la forme
P(cos(b)) avec deg(P)=a ou P(cos(a)) avec deg(P)=b en renversant les formules de linéarisation et même par récurrence, je pense.
Hélas la question que je me pose est avec a,b dans R^2 ou un compact de R^2(un ouvert inclus dans un compact) et là la question de Chalons devient très intéressante(si tu as un papier sur le sujet ou une indication, ça m'intéresse). Je suppose d'ailleurs que c'est P(f(a),g(b)) que tu voulais écrire(au sinon je ne comprends où intervient g) car je serai vraiment surpris par le résultat P(f(a),f(b)).
Ne peut-on pas dire que $cos(n\times b)=Q(cos(b))$ avec Q polynome de degré n ?
A partir de là, on voit très bien que l'on ne pourra pas exprimer cos (n\times b) sous la forme $P(f(n), g(b))$ puisque P est de degré $k$ fixé et qu'il faudrait alors $g$ polynomial de degré $n-b$...
pour moi, la question de "gou" :
<< j'aurai aimé savoir si il existe une formule pour cos(a*b) sous la forme f(a)*g(b) >>
est du même genre que la suivante :
<< j'aurai aimé savoir si il existe une formule pour exp(a*b) sous la forme f(a)*g(b) >>
Il est alors clair que la séparation des variables ne se fait pas par une multiplication de fonctions de ces variables, mais par une puissance évidente :
exp(a*b) = (exp(a))^b
ou = (exp(b))^a
Similairement pour le cosinus :
cos(a*b) = (1/2)*(exp(i*a*b)+exp(-i*a*b))
que l'on écrira des façons suivantes :
cos(a*b) = (1/2)*((cos(a)+i*sin(a))^b+(cos(a)-i*sin(a))^b)
ou cos(a*b) = (1/2)*((cos(b)+i*sin(b)^a+(cos(b)-i*sin(b))^a)
On voit qu'il apparait dans la formule une puissance de l'une ou l'autre des variables.
Réponses
Fixe $a=0$, alors nécessairement $\forall b, g(b)=1$
Fixe $b=0$, alors nécessairement $\forall a, f(a)=1$
Conclusion nécessairement $\forall a,b,\ cos(ab)=1$ ce qui est faux
Fixe $ a=0$, alors nécessairement $ \forall b, g(b)=1$ ??
Moi je trouve :
Fixe $ a=0$, alors nécessairement $ \forall b, f(0).g(b)=1$
Cordialement.
NB : On y arrive quand même, mais pas avec une affirmation fausse.
Nicolas
si a=0, f(0)<>0(à condition que l'on se place sur un anneau intègre, la question peut rester intéressante sur un anneau non intègre peut être) puis pour tout b,
g(b)=1/f(0) donc constante et vice versa pour b=0, on a pour tout a, f(a)=1/g(0)
or cos(a*b) n'est pas constante.
Sinon une façon sympa d'exprimer cos(a*b) ne vous viendrait pas à l'idée.
Merci d'avance.
existe-t-il un polynome $P(X,Y)$ et des fonctions $f,g$ tels que $\forall a,b: cos(ab)=P(f(a);f(b))$ (sur le fond, je pense que c'est ce que l'auteur espère non?)
Je m'explique : Supposons que cela soit possible avec $P$ de degré $n$ et deux fonctions $f,g$.
En considérant $a=2\pi k$ avec $k$ entier, on obtient que $g(b)$ est une constante sur les entiers (on construit un système libre de $n+1$ équations polynomiales). On fait de même pour $f$. Si on n'arrivait pas à créer un système libre, c'est que $f$ était $2\pi$ périodique, ce qui est contradictoire en considérant les couples $(a,b)$ et $(a+2\pi, b)$ avec $b=n+0.1$.
Or $(a,b)\in\mathbb{N}^2\rightarrow cos(ab)$ n'est pas constante, on arrive à une contradiction
Ma démonstration mériterait d'être bien formalisée, mais je crois que l'idée est là
Nicolas
Bonne question, Christophe Chalons.
A vrai dire, si a ou b est entier on peut écrire
cos( a*b) = cos( b + b + ... +b) ou cos (a + .... + a) et exprimer cos(a*b) sous la forme
P(cos(b)) avec deg(P)=a ou P(cos(a)) avec deg(P)=b en renversant les formules de linéarisation et même par récurrence, je pense.
Hélas la question que je me pose est avec a,b dans R^2 ou un compact de R^2(un ouvert inclus dans un compact) et là la question de Chalons devient très intéressante(si tu as un papier sur le sujet ou une indication, ça m'intéresse). Je suppose d'ailleurs que c'est P(f(a),g(b)) que tu voulais écrire(au sinon je ne comprends où intervient g) car je serai vraiment surpris par le résultat P(f(a),f(b)).
Merci d'avance.
A partir de là, on voit très bien que l'on ne pourra pas exprimer cos (n\times b) sous la forme $P(f(n), g(b))$ puisque P est de degré $k$ fixé et qu'il faudrait alors $g$ polynomial de degré $n-b$...
pour moi, la question de "gou" :
<< j'aurai aimé savoir si il existe une formule pour cos(a*b) sous la forme f(a)*g(b) >>
est du même genre que la suivante :
<< j'aurai aimé savoir si il existe une formule pour exp(a*b) sous la forme f(a)*g(b) >>
Il est alors clair que la séparation des variables ne se fait pas par une multiplication de fonctions de ces variables, mais par une puissance évidente :
exp(a*b) = (exp(a))^b
ou = (exp(b))^a
Similairement pour le cosinus :
cos(a*b) = (1/2)*(exp(i*a*b)+exp(-i*a*b))
que l'on écrira des façons suivantes :
cos(a*b) = (1/2)*((cos(a)+i*sin(a))^b+(cos(a)-i*sin(a))^b)
ou cos(a*b) = (1/2)*((cos(b)+i*sin(b)^a+(cos(b)-i*sin(b))^a)
On voit qu'il apparait dans la formule une puissance de l'une ou l'autre des variables.