La complétude propriété topologique ?

Lucas t'es sûr de ton exemple ? J'ai l'impression que ton espace est isométrique à $\R_+^*$ muni de la distance usuelle (via $x \mapsto \frac 1 x$)

Sinon il y a $\R$ qui est homéomorphe à $]-1,1[$, les deux étant munis de la métrique usuelle. Donc en effet la complétude n'est pas conservée par les homéomorphismes, en revanche elle est conservée par les applications bi-uniformément continue (puisque celles-ci conservent la Cauchy-tude des suites contrairement aux simples homéomorphismes)

La propriété de complétude est une propriété de la structure uniforme induite par la structure métrique. Si 2 espaces uniformes sont isomorphes et si l'un est complet, l'autre est complet.

On va faire simple : considérons $\mathbf{R}$ muni des distances :
$d_1(x,y) = |y-x|$ : complet
$d_2(x,y) = |\mathrm{arctan}\, x - \mathrm{arctan}\, y|$ : pas complet ($u_n=n$ est de Cauchy)

Pourtant ces deux distances induisent la même topologie.

Il y a trois notions d'équivalence pour les distances, de la plus faible à la plus forte :
- l'équivalence topologique : les deux distances induisent la même topologie, c'est à dire $d_1(u_n,\ell)$ tend vers zéro si et seulement si $d_2(u_n,\ell)$ tend vers zéro
- l'équivalence uniforme : les deux distances induisent la même topologie, et $d_2(u_n,v_n)$ tend vers zéro si et seulement si $d_1(u_n,v_n)$ tend vers zéro. En particulier elles induisent les mêmes suites de Cauchy.
- l'équivalence : il existe $A$ et $B$ tels que $Ad_1(x,y) \le d_2(x,y)\le Bd_1(x,y)$.

On peut les caractériser en regardant $\mathrm{id}\mathop{\colon}(X,d_1)\to(X,d_2)$ :
- Si $\mathrm{id}$ est un homéomorphisme, les distances sont topologiquement équivalentes.
- Si $\mathrm{id}$ est uniformément continue, de réciproque uniformément continue, les distances sont uniformément équivalentes
- Si $\mathrm{id}$ est lipschitzienne, de réciproque lipschitzienne, les distances sont équivalentes.

Exercice : soient $d_1$ et $d_2$ comme au début du message, et $d_3 = \min(d_1, 1)$. Montrer que $d_1$ et $d_3$ sont uniformément équivalentes mais pas équivalentes, $d_1$ et $d_2$ sont topologiquement équivalentes mais pas uniformément équivalentes.

Salut bs,

Merci pour ce complement. En reprenant les notations du message de kebab, la distance $d_4=\ln(1+d_1)$ doit convenir pour nier l'implication "bornologiquement équivalentes" $\Rightarrow$ "équivalentes"

Bonjour,

Si $d$ est telle que $(X,d)$ est complet et $U\neq X$ un ouvert de $X$, on considère la métrique $d'$ sur $U$ définie par :
$$ d'(x,y)=d(x,y)+\left\vert \frac {1}{d(x,U^c)}-\frac {1}{d(y,U^c)}\right\vert$$
Que peut on dire dire de $d$ et $d'$ sur $U$ de point de vue équivalence ?

Remarquons que $(U,d')$ est complet !