relation de récurrence pour une suite d'inégrales
Bonjours,
J'ai une relation de récurrence à trouver entre les termes $I_n$ et $I_{n-1}$ d'une suite définie par $I_n=\int_0^1U_n(t)dt$
où $U$ est définie par $\forall n\in \N,\ U_n=\dfrac{x^n(x-1)^n}{n!}$
Alors j'ai démontré que $U'_{n+1}(x)=(2x-1)U_n(x)$ et $U"_{n+1}(x)=2(2n+1)U_n(x)+U_{n-1}(x)$
Comme $U_n(1-x)=U_n(x)$, en intégrant sur $[0;1]$ ça doit certainement aider, mais je n'ai pas su m'en servir.
J'ai essayé d'intégrer par parties mais je me retrouve avec $\int_0^1tU'_n(t)dt$ ... ce qui ne m'évoque rien.
Sinon, je peut exprimer directement la valeur de $I_n$ en explicitant $U_n$ avec le binôme Newton, et je trouve :
$\displaystyle U_n(x)= \frac 1{n!} x^n \sum_{i=0}^n\binom{i}{n}x^i(-1)^{n-i}$
donc $\displaystyle \int_0^1U_n(t)dt=\frac 1{n!}\sum_{i=0}^n\binom{i}{n}\frac{1}{n+i+1}(-1)^{n-i}$ avec des simplifications possibles pour le $n!$
Mais ce n'est pas ce que je veux !!
J'aimerais obtenir cette maudite relation de récurrence !
Si quelqu'un avait une idée, je lui en serais reconnaissant !
Merci d'avance
iohan
J'ai une relation de récurrence à trouver entre les termes $I_n$ et $I_{n-1}$ d'une suite définie par $I_n=\int_0^1U_n(t)dt$
où $U$ est définie par $\forall n\in \N,\ U_n=\dfrac{x^n(x-1)^n}{n!}$
Alors j'ai démontré que $U'_{n+1}(x)=(2x-1)U_n(x)$ et $U"_{n+1}(x)=2(2n+1)U_n(x)+U_{n-1}(x)$
Comme $U_n(1-x)=U_n(x)$, en intégrant sur $[0;1]$ ça doit certainement aider, mais je n'ai pas su m'en servir.
J'ai essayé d'intégrer par parties mais je me retrouve avec $\int_0^1tU'_n(t)dt$ ... ce qui ne m'évoque rien.
Sinon, je peut exprimer directement la valeur de $I_n$ en explicitant $U_n$ avec le binôme Newton, et je trouve :
$\displaystyle U_n(x)= \frac 1{n!} x^n \sum_{i=0}^n\binom{i}{n}x^i(-1)^{n-i}$
donc $\displaystyle \int_0^1U_n(t)dt=\frac 1{n!}\sum_{i=0}^n\binom{i}{n}\frac{1}{n+i+1}(-1)^{n-i}$ avec des simplifications possibles pour le $n!$
Mais ce n'est pas ce que je veux !!
J'aimerais obtenir cette maudite relation de récurrence !
Si quelqu'un avait une idée, je lui en serais reconnaissant !
Merci d'avance
iohan
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Réponses
Faute de mieux, tu peux calculer (par parties et récurrence si tu veux bien me passer le zeugme)
\[J_{n,m} = \int_0^1 x^n(1-x)^m\,\textrm dx.\]
e.v.
Est-ce vraiment un zeugme ? Il me semble que parties et récurrence entretiennent le même rapport de sens au verbe, au contraire de
« Après avoir sauté sa belle-sœur et le repas du midi, le Petit Prince reprit enfin ses esprits et une banane » (Pierre Desproges, dans son dictionnaire superflu, à l'usage de l'élite et des bien nantis).
par parties, je trouve $J_{n,m}=\frac{m}{n+1}J_{n+1,m-1}$
d'où, en réitérant $m$-fois, et en calculant $J_{n+m,0}$ je trouve $J_{n,m}=\frac{n!m!}{(n+m+1)!}$
Puisque $I_n=\frac{(-1)^nJ_{n,n}}{n!}$ ça donne $I_n=(-1)^n\frac{n!}{(2n+1)!}$
par exemple $I_2=(1/2)\int_0^1x^2(x-1)^2dx=\int_0^1x^4-2x^3+x^2dx=(1/2)*(1/5-1/2+1/3)=1/60$
et on a bien $\frac{2!}{(5)!}=2/120=1/60$
ça marche !!
Merci !
Cependant, était-on obligé de passer par là, c'est à dire introduire ce $J_{n,n}$ ?
Il semblerait donc que je me sois pris pour un rhétoricien et les pieds dans le tapis.
amicalement,
e.v.