Point fixe et valeur d'adhérence

chris93
chris93
dans Analyse
Bonjour à tous,

je me suis posé une question à laquelle je ne trouve pas de réponse.

Supposons qu'une suite réelle $(u_n)$ soit définie par récurrence : $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ une fonction réelle continue sur $I$.

1) On cherche les points fixes de $f$ et on en trouve plusieurs dont le point $\ell$. Peut-on en déduire immédiatement qu'il existe une suite extraite $(u_{\phi(n)})$ qui converge vers $\ell$ ?

Je dirais non puisque je sais, que selon les conditions initiales ($u_0$), le point fixe peut ne pas être limite de la suite, pourquoi le serait-il pour une suite extraite alors que les conditions initiales seraient les mêmes ? Même si j'ai un doute... je détaillerai plus tard.

2) Supposons que la fonction $f$ n'admette qu'un point fixe et qu'elle soit bornée. Peut-on en déduire immédiatement que la suite ($u_n$) converge ? (on utiliserait bien sûr le théorème : Toute suite réelle bornée n'admettant qu'une seule valeur d'adhérence converge (vers cette valeur d'adhérence.)

Si la réponse est oui à la première question, la réponse à cette dernière question est évidente.

3) J'ai vu sur le net, le théorème suivant :

Soit une fonction $f$ de $\mathbb{R}^m$ dans $\mathbb{R}^m$ continue, et on définit la suite ($u_n$) par récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$.
Alors, si la suite ($u_n$) n'admet qu'une valeur d'adhérence, elle converge.

Je pense qu'il y a une erreur puisque, pour $m=1$, c'est faux. Si on suppose $n \geq 2$, est-ce vrai ? Le fait d'être continue me semble tout de même insuffisant...

Merci à vous.

Réponses

  • zephir
    zephir
    Bonjour.
    1) la réponse est non : contre-exemple $I=[0,1],\ f(x)=\sqrt x$.
    2) la réponse est oui et la démonstration y est. Le théorème invoqué contient un argument de compacité.
    3) l'énoncé n'a pas de sens,$f$ étant définie sur $\R^m$ à valeurs dans $\R$, $u_n\in \R$ donc $f(u_n)$ non définie si $m\ge 2$.

    [edit : pour 2), j'ai mal lu l'énoncé gb a raison. c'est FAUX. merci gb]
  • gb
    gb
    \fbox{{\bf chris93} : On cherche les points fixes de $f$ et on en trouve plusieurs dont le point $l$.}
    Une suite peut très bien être convergente (suite constante par exemple) vers un autre point fixe que \(l\), qui n'est donc pas valeur d'adhérence de cette suite.

    \fbox{{\bf chris93} : Supposons que la fonction $f$ n'admette qu'un point fixe et qu'elle soit bornée.}
    Si le seul point fixe est répulsif, les seules suites convergentes sont stationnaires.

    Sur \([0;1]\), le célèbre \(f(x) = kx(1-x)\) fournit des exemples de tous les comportements suivant les valeurs de \(k\) dans \([0,4]\).
  • remarque
    remarque
    Pour 2, la question n'est pas claire. Si $f$ est définie sur $\R$ entier, a un seul point fixe et est bornée, alors ce point fixe est attractif, ce me semble. Si elle n'est pas définie sur $\R$ entier, je ne sais pas trop ce qu'elle veut dire, car avec un point fixe répulsif, on va vite sortir de son domaine de définition...
  • christophe c
    christophe c
    2) Supposons que la fonction $f$ n'admette qu'un point fixe et qu'elle soit bornée. Peut-on en déduire immédiatement que la suite ($u_n$) converge ? (on utiliserait bien sûr le théorème : Toute suite réelle bornée n'admettant qu'une seule valeur d'adhérence converge (vers cette valeur d'adhérence.)

    "elle soit bornée". Qui "elle"? (Inconvénient des maths, vaut mieux faire des répétitions).

    Si tu prends f allant de [0;1] dans [0;1] qui transforme x en 1-x et que $u_0:=0$, ta suite ne vas pas converge, ce sera:
    (0;1;0;1;0;1;0;.....>

    Le théorème dont tu parles (qui est vrai), n'a rien à voir avec cette histoire. Par ailleurs, précise "à image relativement compacte" plutôt que "bornée", je pense que c'est plus sain, parce que tes questions ont un sens pour des esp.top quelconques.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Ah je viens de lire le post de remarque. Donc pour une f définie sur $\R$:

    si $x\leq 0: f(x):=1$
    si $x\in [0;1]:f(x):=1-x$
    si $x\geq 1:f(x):=0$

    Cette $f$ est à image bornée, continue avec un seul point fixe (bon même si je sais pas calculer, j'en vois pas d'autre à part 1/2 :D ) et avec $u_0:=0$, on obtient bien (0;1;0;1;...>
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • remarque
    remarque
    Oui, tu as raison. Je voyais le cas du point fixe répulsif à dérivée positive.
  • christophe c
    christophe c
    Tiens d'ailleurs, je ne sais pas ce que signifient les expressions "point fixe attractif" et "point fixe répulsif" et pourtant je les lis souvent au détour d'articles vulgarisés??
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • remarque
    remarque
    Ben, dans le cas $\R\to\R$, attractif ça veut dire qu'il attire la suite récurrente partant de suffisamment près, et répulsif qu'il la... Critère pratique : $x$ point fixe attractif si $|f'(x)|<1$, répulsif si $|f'(x)|>1$.
  • christophe c
    christophe c
    merci
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • qadassi
    qadassi
    Pour la 2), c'est Bolzano-Weirstrass, il donne l'existence de la limite sans dire ce qu'elle vaudra.

    CC: le point fixe attractif est un $x_0$ contenu dans un voisinage $\mathcal{V}$ où $f$ est contractante et tel qu'il existe $u_{n_0} \in \mathcal{V}$.

    Le point fixe répulsif vérifie la 2e condition mais pas la première.
  • chris93
    chris93
    D'abord, merci à tous d'avoir répondu.

    christophe chalons écrivait:
    > Ah je viens de lire le post de remarque. Donc pour
    > une f définie sur $\R$:
    >
    > si $x\leq 0: f(x):=1$
    > si $x\in [0;1]:f(x):=1-x$
    > si $x\geq 1:f(x):=0$
    >
    > Cette $f$ est à image bornée, continue avec un
    > seul point fixe (bon même si je sais pas calculer,
    > j'en vois pas d'autre à part 1/2 :D ) et avec
    > $u_0:=0$, on obtient bien (0;1;0;1;...>


    Super ton contre-exemple CC. Il répond également à la première question car, cette fonction est continue, bornée et n'admet qu'un point fixe. Si ce point fixe était une vda, la suite devrait converger, ce qui n'est pas le cas. Donc ce point fixe n'est pas une valeur d'adhérence (évident quand on voit le comportement de la suite...).
    Je note également la remarque de Monsieur Remarque sur le fait de définir f sur un intervalle I et cette histoire de point répulsif.

    Bon, je sais ce qu'est une valeur d'adhérence (vda) (limite d'une suite extraite), je sais que l'ensemble des vda est inclus dans l'ensemble des points fixes de f. Mais comment savoir si un point fixe est (ou n'est pas) une vda. A part trouver la suite extraite, y a-t-il un autre procédé ?

    Merci
  • egoroffski
    egoroffski
    chris93 a écrit:
    je sais que l'ensemble des vda est inclus dans l'ensemble des points fixes de f

    Il me semblait justement que le contre-exemple de CC prouvait le contraire. Le problème est que si $(x_{\varphi(n)})$ est une suite extraite, on n'a pas $x_{\varphi(n+1)}=f(x_{\varphi(n)})$ (sauf si $\varphi(n+1)=\varphi(n)+1$) ce qui permettrait de passer à la limite pour obtenir $\ell=f(\ell)$.
  • chris93
    chris93
    Je dirais plutôt que la fonction définie par CC montre que l'ensemble des points fixes de $f$ n'est pas inclus dans l'ensemble des vda de la suite ($u_n$) (ou devrais-je dire des suites ($u_n$) à cause de $u_0$...). Me trompe-je ?:S

    Parcontre, je n'avais pas pensé qu'avec une suite extraite, on n'avait plus la relation de récurrence initiale...dommage !

    Alors, comment savoir si une valeur $z$ est une vda pour une suite ($u_n$) à part exhiber la suite extraite ?

    Merci
  • remarque
    remarque
    Ben si. Un point fixe est toujours valeur d'adhérence d'une telle suite récurrente, en prenant le premier terme égale au point fixe. Par contre, il peut* y avoir des valeurs d'adhérence qui ne sont pas des points fixes.

    * Au sens d'il y a très souvent...
  • chris93
    chris93
    :o J'ai honte...bah oui, c'est évident maintenant que je le lis...

    Merci encore.
  • mcd
    mcd
    Bonjour
    La question 3) m'intéresse, je vais la reformuler si ce n'était pas clair.

    Soit $ f : \mathbb{R}^{n } \rightarrow \mathbb{R}^{n }$ une application continue. Un point $x_{0} \in \mathbb{R}^{n }$ étant donnée, on définit la suite $(x_{n})$ par $x_{n+1} = f(x_{n})$.
    On suppose que $(x_{n})$ admet une et une seule valeur d'adhérence.
    Montrer que la suite $(x_{n})$ converge.
  • talbon
    talbon
    On montre que cette valeur d’adhérence $a$ est un point fixe de $f$.

    On se donne une boule $B_o(a,r)$ visitée une infinité de fois.
    On remarque que $f(B_f(a,r))\setminus B_o(a,r)$ est compact pour montrer qu'à partir d'un certain rang, $x_n$ reste dans $B_o(a,r)$ ; et on conclut.

    Il doit y avoir mieux à faire, c'est un peu pataud.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 7

Amadou +6 Invités