K-lipschitzienne est continue ?

Zaky19890 · January 2010

Bonjour ,

Une fonction f : I --> IR est dite lipschitzienne s’il existe un réel > 0 tel que
|f(x1) - f(x2)| < k |x1- x2|.
a) Montrez qu’une fonction fonction lipschitzienne est continue. (

b) Montrez que la fonction x ---> |x| définie sur IR est lipschitzienne avec k= 1. Peut-on dire que toute fonction lipschitzienne est dérivable ?

c) Montrez que si f est lipschitzienne et dérivable alors f' est bornée.

d) Comment s’appelle la réciproque : “si f est dérivable et f' est bornée alors f est lipschitzienne” ?

Quelqu'un peut-il me donner des indications ou la solution ?

Zaky19890 · January 2010

pour la question , normalement est trivial ,,mais c'est un exercice de l'anné precedente

gerard0 · January 2010

Bonjour.

1) Applique la définition de la continuité. On trouve tout de suite le résultat.
2) |x| est-elle dérivable (partout) ?
3) Utiliser la définition quotient de la dérivée pour calculer sa valeur absolue.

Bon, déjà commence ça, et si tu bloques, écrit ce que tu as fait qu'on puisse t'aider.

Cordialement.

NB / Attention à la définition : Une fonction f : I --> IR est dite lipschitzienne s’il existe un réel k> 0 tel que ..

Zaky19890 · January 2010

j'applique la définition de la continuité avec distance ????javascript:editor_tools_handle_smiley_select(":S")

Zaky19890 · January 2010

soit e>0 ,existe s>0 | quelque soit De(x,y)<=s ==> Df (f(x),f(y)) <= e

gerard0 · January 2010

Et quelle est la distance, dans $\mathbb R$ ?

Zaky19890 · January 2010

|x - y | bien sur

Zaky19890 · January 2010

donc il sera |f(x) - f(y) | <= e

Kito · January 2010

salut,

Je reprends ce que Gerard0 pour commencer

(a) Tu suppose que $f$ est $k$-lipschitz et tu dois montrer $|f(x)-f(p)|\rightarrow 0$ quand $|x-p|\rightarrow 0$.
(b) Pour montrer que $|x|$ est $k$-lipschitzienne de constante $k=1$ utilse l'inverse de l'inegalite triangulaire i.e. $| |x|-|y| |\leq |x-y|$..... et maintenant tu reponds a la question de Gerard0 (|x| est elle derivable?)

(c)..., (d)....

RoooxY · December 2013

Bonjour, je ne vois pas comment on peut répondre à la question (a)

Merci !

gerard0 · December 2013

C'est dit au dessus. Lis !

aimeneaz · January 2016

Pour la premiére question il suffit de prendre epsilon=2*delta
pour la deuxieme il suffit de remplacer f(x) par x si x superieur a 0 et -x si x est inferieur a 0
on ne peut pas dire que toute fonction lipschitzienne est dérivable on prend f(x)=|x| comme un contre exemple
par le theoreme des accroissemnts finis on peut démontrer la troisième question

zorg69 · January 2016

Quel beau déterrage, à l'heure où tant de célébrités perdent la vie...

K-lipschitzienne est continue ?

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Bonjour!

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