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Continuité partie entière...

Envoyé par clothoide 
Continuité partie entière...
il y a quatre années
avatar
Bonjour,

Je revois un peu tout ce qui est continuité de fonction, dans l'optique cours sur les Séries de Fourier. Car j'ai pas mal d'exemples dans mon cours qui introduisent des fonctions définies à l'aide de la partie entière.

Aussi pour mémoire, j'étudie un exercice corrigé faisant le tour de ce qu'il y a à connaître sur la partie entière.

On me demande de prouver que si $x\in \mathhbb{R} \setminus \mathbb{Z}$, alors $[x]+ [-x]=-1$

Je comprends déjà que $x$ ainsi définie n'est pas relatif. Voilà ma correction :

Par définition de la partie entière, on a : $[x] \leq x < [x]+1$. Par hypothèse, $x$ n'est pas un entier, donc on passe à l'inégalité stricte, c'est à dire $[x] < x < [x]+1$ (ok) d'où $-[x]-1 < -x < -[x]$ (ok), or $-[x]-1$ et $-[x]$ sont 2 entiers consécutifs (ok) donc $[-x]= -[x]-1$.

Je décroche sur leur conclusion.

Merci pour votre explication,

Cordialement,
Clotho
Re: Continuité partie entière...
il y a quatre années
[y] est par définition, l'unique entier n tel que $n\leq y< n+1$. Donc a partir de l encadrement de -x, on en déduit sa partie entiere..
Re: Continuité partie entière...
il y a quatre années
Salut Clotho,

La conclusion découle du fait suivant : dès que tu trouves un entier $n$ tel que $n \leq y < n+1$, alors $n=\lfloor y \rfloor$ : c'est l'unicité de la partie entière. Comme $n=-\lfloor x \rfloor-1$ vérifie cette condition pour $y=-x$, on arrive à leur conclusion.
Re: Continuité partie entière...
il y a quatre années
Re: Continuité partie entière...
il y a quatre années
avatar
Bonjour à vous deux,

En reprenant l'explication d'egoroffski, ça devrait aller tout seul...mais non :S

Si je trouve un entier $n$ tel que $n \leq -x <n+1$, alors par unicité de la partie entière $[-x]=n$. Donc dans mon cas, en posant $n= -[-x]-1$, on obtient : $-[-x]-1 \leq -x < -[-x]$.

Seulement, ma rédaction conclut sans aboutir à une minoration large : ce qui est nécessaire pour revenir à la définition de la partie entière.

Merci
Clotho
Re: Continuité partie entière...
il y a quatre années
Une minoration stricte implique une minoration large..
Re: Continuité partie entière...
il y a quatre années
Et oui : qui peut le plus, peut le moins.
Re: Continuité partie entière...
il y a quatre années
avatar
D'accord, donc les choses s'éclaircissent vu comme ça.

Merci
Clotho
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