Qu'est-ce qu'une fonction ?
dans Analyse
Bonjour,
je m'apprêtais à travailler la leçon "201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications" de l'agrégation, quand je me suis demandé ce qu'était une fonction. Pensez vous que par "fonction", il est entendu uniquement les applications qui arrivent dans R et C ? Dans le rapport du jury, je lis "La leçon « Espaces de fonctions » est souvent pauvre, hors-sujet, et les espaces considérés ne sont pas des espaces de fonctions !"...
Dois-je par exemple parler des applications linéaires de E dans F, où E et F sont des espaces vectoriels plutôt quelconques ? Si j'énonce un théorème comme Ascoli, dois-je me limiter au cas où l'espace d'arrivée est R ?
Voilà les questions que je me pose, merci d'avance pour les réponses que vous y apporterez
je m'apprêtais à travailler la leçon "201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications" de l'agrégation, quand je me suis demandé ce qu'était une fonction. Pensez vous que par "fonction", il est entendu uniquement les applications qui arrivent dans R et C ? Dans le rapport du jury, je lis "La leçon « Espaces de fonctions » est souvent pauvre, hors-sujet, et les espaces considérés ne sont pas des espaces de fonctions !"...
Dois-je par exemple parler des applications linéaires de E dans F, où E et F sont des espaces vectoriels plutôt quelconques ? Si j'énonce un théorème comme Ascoli, dois-je me limiter au cas où l'espace d'arrivée est R ?
Voilà les questions que je me pose, merci d'avance pour les réponses que vous y apporterez
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Réponses
pour la definition de la fonction je peut te dire:
On appelle fonction tout relation $R$ tel que :pour tout $x\in \mathbb{E}$ il existe $!y\in \mathbb{F}$ tel que $xRy$ (E et F sont deux ensembles quelconques )...
-- Schnoebelen, Philippe
Il me semble que si le jury dit "fonction" au lieu de "application", ça a du sens ... Pour moi, fonction veut dire que l'espace d'arrivée est lR ou lC (à la rigueur leur compactifié).
Sous toute réserve.
Bien cordialement.
Mais alors d'où vient cet extrait du rapport du jury : "certains espaces présentés ne sont pas des espaces de fonctions ?". Si il faut parler de toutes les fonctions, il me semble difficile de parler de choses qui ne sont pas des espaces de fonctions.
Sur Internet, j'ai trouvé pas mal de définitions de "fonction" qui les font arriver dans R ou C, contrairement aux "applications" qui arrivent n'importe où...
Et bien c'est aussi l'avis d'un de mes profs qui est spécialiste de "la théorie des fonctions" d'après sa page web : il pense qu'il faut se limiter aux fonctions à valeurs réelles ou complexes. Mais comme j'ai entendu d'autres avis opposés, je voulais avoir les vôtres !
viennent faire dans la definition d'une fonction??? ou alors c'est que j'ai vecu la phase
terminale des maths modernes... Pour moi de memoire ce que nawel decrit ca n'est justement
pas la definition d'une fonction mais la definition d'une application, et pour une fonction
la difference c'est qu'un element de l'ensemble de depart peut ne pas avoir d'image mais
s'il en a une elle est unique; subtile distinction dont plus personne d'ailleurs n'a que faire
maintenant ou le terme fonction sert allegrement de synonyme au mot application,
mais avec la definition que j'avais au moins on voyait une différence entre ensemble de départ
et ensemble de définition.
Enfin c'est comme ca j'ai apris quand j'etais un djeun, mais les choses changent...
Qu'en dis maitre Bourbaki??
A+
eric
Je sais que Wikipedia n'a pas valeur de référence, mais le fait qu'ils fassent la différence entre fonction et application suivant l'espace d'arrivée montre bien que le débat est justifié.
Cher Florent H.,
Je n'ai jamais envisagé de passer l'Agreg., et j'ai refusé plusieurs fois de préparer les gens à la passer (ce qui me semble assez naturel), aussi je me garderais bien d'un argument d'autorité ... Mais il me semble que les jurys n'aiment pas qu'on généralise leurs sujets, à quelque point de vue que ce soit.
Mais je pense que l'avis d'un préparateur "in the wind" serait préférable au mien.
Bien cordialement.
Bref, ici, je pense qu'il faut entendre "application réelle ou complexe", ou éventuellement "application truc", mais qu'en tout cas fonction est à entendre au sens d'application (vérifiant peut-être des propriétés en plus).
Si le but est de se taper dessus sur la "bonne" définition plutôt que de discerner les intentions du jury, il y a un fil tout exprès pour qui ne demande qu'à être remonté : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?7,347392,page=1. Par respect pour le concours, épargnons celui-ci s'il vous plait.
[Edition : je viens de remarquer que le fil en question était fermé, donc en fait non, on ne peut pas le remonter .]
Anyway, Florent H., as-tu envisagé que cette phrase du rapport soit tout simplement à prendre au sens littéral : peut-être que certains candidats ont voulu caser l'étude de $\C^n$ ou encore de $\Q_p$ dans la leçon, après tout... $L^p$ me paraît une bonne piste aussi, en tout cas, qu'on voie $L^p$ comme un espace de fonctions ou pas, il me paraît peu judicieux de traiter son cas dans cette leçon puisqu'il a sa "propre" leçon...
La remarque du jury est assez obscure. Peut-être est-ce simplement que certains candidats étudient plus des fonctions que l'espace des fonctions, voire que certains étudient l'espace de départ ou d'arrivée des fonctions... Il faudrait demander au jury.
J'ai le sentiment qu'on n'a aucune raison d'avoir uniquement des espaces de fonctions numériques mais je ne suis en aucun cas un spécialiste. J'ai la forte impression que ça concerne les distributions, sujet très mal vu par le jury d'agrég...
Cette hypothèse me convainc totalement.
Et oui, j'aimerais bien demander au jury, mais je ne connais personne qui soit jury d'agreg en analyse...
Merci pour toutes vos réponses en tout cas ; finalement ça ne me donne pas envie de travailler la leçon, il y a des gros risques de hors sujet !
A défaut de membre du jury, tu peux toujours demander à un préparateur (dont je n'ai jamais fait partie), il y en a quand même de sympathiques .
Bruno
Il ne faut surtout pas aller chercher le fil évoqué par LBR ! Il est encore tout dégoulinant du sang des valeureux chevaliers qui, de taille, d'estoc, ont guerroyé là. Aucune paix des braves n'en a, hélas, résulté, et le sujet est toujours un casus belli des plus sensible.
Bien cordialement.