théorème de Cauchy Lipshitz

Bonsoir

J'ai un problème pour comprendre la démonstration :

L'unicité de la solution est sur $[t_0, t_0 + \delta]$. Grâce aux conditions initiales on peut poser $\int_{t_0}^{t_0+\delta}\,||f(\tau,x_0)|| + g(\tau)r d\tau < r $.

En plus de la norme de la topologie de la convergence uniforme on pose comme norme équivalente $||u||' = \max || e^{-a G(t)} u(t)||$ où $G(t) = \int_{t_0}^{t} g(\tau)\,d\tau $.
De plus on pose $Tu(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}\,f\big(\tau,u(\tau)\big)\,d\tau $.

Voilà je ne comprends pas pourquoi $|| f\big(\tau,u(\tau)\big)|| \le ||f(\tau,x_0)|| +g(\tau)r$ et $||e^{-a G(t)}(Tu(t) - Tv(t)|| \le \int_{t_0}^{t}\,g(\tau)e^{a(G(\tau)-G(t))}\,d\tau\times \|u-v\|' $.

Je souhaiterais aussi avoir des précisions sur les solutions maximales. Une solution maximale d'un problème de Cauchy va d'un intervalle ouvert du type $]a,b[,\ a,b \in E\timesE $. Mais si $\|f(t,x)\| \le a(t)\|x\| + b(t)$ où $a$ et $b$ localement intégrables pour vérifier l'existence locale du théorème de Cauchy alors l'intervalle de la solution maximale est tout $\mathcal{I}$ sachant que $f : \mathcal{I} \times E \to E$


[Pour LaTeX, il faut encadrer les expressions mathématiques par des \$.]
[Augustin Cauchy (1789-1857) et Rudolf Lipschitz (1832-1903) méritent tous deux une majuscule. AD]