normes équivalentes donc dim finie
Bonsoir, je voudrais prouver que si $E$ est un espace vectoriel normé sur lequel toutes les normes sont équivalentes, alors $E$ est de dimension finie.
Que pensez-vous de cette preuve (est-elle correcte et en connaissez-vous d'autres) ?
Nous allons prouver la contraposée et pour cela exhiber deux normes non équivalentes sur $E$ supposé de dimension infinie. On prend $\mathcal B=(e_i)_{i \in I}$ une base de $E$ (via Zorn). Si $x \in E$, on note $(x_i)_{i \in I}$ ses coordonnées dans la base $\mathcal B$. On pose
$$N_{\infty}(x)=\max_{i \in I}|x_i| \qquad \mathrm{ et } \qquad N(x)=\sum_{i \in I} |x_i|.$$
Ces deux normes sont bien définies car presque tous les $x_i$ (sauf un nombre fini) sont nuls.
Puisque l'ensemble $I$ est infini, il contient une partie $A=\{a_n, \ n\in \N \}$ dénombrable.
Pour tout $n \in \N$, on pose alors $\m X_n=\sum\limits_{k=0}^ne_{a_n}$.
On a $N_{\infty}(X_n)= 1$ mais $N(X_n)=n+1$, ce qui montre que la suite $(X_n)$ de vecteurs de $E$ est bornée pour $N_{\infty}$ mais pour $N$, et donc prouve que ces deux normes ne sont pas équivalentes.
Merci
Que pensez-vous de cette preuve (est-elle correcte et en connaissez-vous d'autres) ?
Nous allons prouver la contraposée et pour cela exhiber deux normes non équivalentes sur $E$ supposé de dimension infinie. On prend $\mathcal B=(e_i)_{i \in I}$ une base de $E$ (via Zorn). Si $x \in E$, on note $(x_i)_{i \in I}$ ses coordonnées dans la base $\mathcal B$. On pose
$$N_{\infty}(x)=\max_{i \in I}|x_i| \qquad \mathrm{ et } \qquad N(x)=\sum_{i \in I} |x_i|.$$
Ces deux normes sont bien définies car presque tous les $x_i$ (sauf un nombre fini) sont nuls.
Puisque l'ensemble $I$ est infini, il contient une partie $A=\{a_n, \ n\in \N \}$ dénombrable.
Pour tout $n \in \N$, on pose alors $\m X_n=\sum\limits_{k=0}^ne_{a_n}$.
On a $N_{\infty}(X_n)= 1$ mais $N(X_n)=n+1$, ce qui montre que la suite $(X_n)$ de vecteurs de $E$ est bornée pour $N_{\infty}$ mais pour $N$, et donc prouve que ces deux normes ne sont pas équivalentes.
Merci
Réponses
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ça semble correct.
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Bin, je dirai que je ne vois pas d'objection à faire, ce sont bien des normes, me semble-t-il, elles sont bien non équivalentes.
Ce qui est marrant, c'est que tu utilises l'axiomes du choix pour finalement de prendre qu'une famille libre dénombrable à la fin, et je trouve ça tout à fait délicieux et ça pose une question existentielle:
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\R$. On n'a pas droit à l'axiome du choix. Peut-on forcément le normer?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
CC a écrit:Soit E un espace vectoriel sur R. On n'a pas droit à l'axiome du choix. Peut-on forcément le normer?
Est-il de dimension finie ? Était-il livré en kit avec une base ?
Si je te suis bien, ta question se reformule ainsi : soit E un R-espace vectoriel normé. A-t-il une base ?
Ou encore : quel axiome du choix est impliqué par l'existence de normes ?
Est-ce bien ta question ? -
Si je te suis bien, ta question se reformule ainsi : soit E un R-espace vectoriel normé. A-t-il une base ?
Non, il est bien sûr livré sans base.
Le post de l'auteur du fil montre que s'il est livré avec une base il est normable.Ou encore : quel axiome du choix est impliqué par l'existence de normes ?
Oui en quelque sorte. Y a-t-il besoin d'un peu de choix pour normer un espace vectoriel quelconque sur R?
(en fait, je n'ai pas l'impression, je pense qu'on doit pouvoir tous les normer en les plongeant dans de plus gros canoniques et normables)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
N'avait-on pas convenu que l'existence de bases sur tout ev était équivalente à l'axiome du choix ?
D'un côté, tu dis que oui, ta question se reformule bien l'existence d'une norme pour tout ev implique-t-il bien l'axiome du choix ?, et de l'autre tu réfutes que qu'elle se reformule l'existence d'une norme pour tout ev implique-t-il bien l'existence des bases ?. C'est pourtant la même question ! J'ai bien compris que tu pensais que la réponse est non, mais c'est quand même ta question. Ou quelque chose m'échappe-t-il ? -
Et est-ce qu'il existe des endomorphismes non triviaux !?
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Merci pour vos réponses.
Pour Christophe C, comment plonges-tu un $\R$-ev quelconque dans un ev connu et normable?
Pour Plouffe, je ne suis pas sûr de comprendre ta question. Mais si on admet l'existence d'une base $(e_i)_i$ de $E$, il est facile de construire des automorphismes de $E$ non triviaux: si $I$ contient les éléments $a$ et $b$, tu considères l'endomorphisme de $E$ échangeant $e_a$ et $e_b$ et fixant tous les autres vecteurs de la base... -
cargol : ma question était de savoir ce que l'on pouvait faire sans l'axiome du choix (ou, plutôt, avec quel avatar de ce dernier on pouvait prouver l'existence d'application linéaire non triviale). Mais c'est peut-être trivial.
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Pour Plouffe, une homothétie de rapport 2?
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Il me semble que l'existence d'une norme est équivalente à celle d'un convexe équilibré absorbant, mais il n'est pas sûr que le schmilblique s'en trouve avancé d'un millimètre.
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Les applications linéaires triviales sont les homothéties. La question est : y-a-t-il autre chose comme application linéaire que les homothéties, s'il n'y a pas de bases dans l'espace vectoriel (i.e. pas l'axiome du choix) ?
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cargol : j'avais mis les homothéties dans les triviales
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Donc en fait (pour les endomorphismes), il suffit de savoir si une droite admet un supplémentaire sans axiome du choix.
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zephir a écrit:Les applications linéaires triviales sont les homothéties. La question est : y-a-t-il autre chose comme application linéaire que les homothéties, s'il n'y a pas de bases dans l'espace vectoriel (i.e. pas l'axiome du choix) ?
Il me semblait plutôt que la question de Plouf était : si on suppose qu'il y en a d'autres, peut-on montrer l'existence des normes ? (alors que l'énoncé : si on suppose qu'il y en a d'autres, peut-on montrer l'existence de bases ? est a priori plus fort). -
Ma question était vague en fait. L'existence d'endormorphisme non triviaux est-il équivalent à l'existence de normes ? A Hahn-Banach ? A l'axiome du choix (fort, celui que j'ai appris tout petit) ? etc. C'est ce que j'entendais dans "l'un des avatars de l'axiome du choix". J'espère être plus clair ainsi.
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autoquote a écrit:Il me semble que l'existence d'une norme est équivalente à celle d'un convexe équilibré absorbant, mais il n'est pas sûr que le schmilblique s'en trouve avancé d'un millimètre.
Dans la mesure où construire un ensemble absorbant est plus ou moins équivalent à choisir un vecteur sur chaque droite, la chose me semble difficile sans axiome du choix. -
@Plouf : La non existence d'endomorphisme du $\Q$-espace vectoriel $\R$ non triviaux est consistante avec ACD (axiome du choix dénombrable) et non AC (axiome du choix) si j'en crois le Krivine "théorie des ensembles" Th 14.19".
Donc l'existence d'endomorphismes non triviaux en dimension pas finie doit impliquer quelque chose de strictement plus fort que ACD.
Je me demande si cela n'implique pas AC, mais il faut poser la question à cc. -
oula, j'arrive après bcp de posts.
à LBR. Bin, j'ai l'impression que un truc t'a échappé, ou alors à moi.
Certes, l'énoncé tout ev admet une base(1) implique AC.
Mais tout ev admet une norme(2) ne me parait pas du tout trivialement équivalent au précédent (1).
Je demandais si (2) peut se prouver sans AC. Et il me semble que tu m'as dit que tu reformulais ça en: "tout ev normé admet-il une base?"(3) question qui me parait être encore une toute autre question, dont la réponse positive entrainerait, non pas que (2) se prouve sans AC, mais que (2) implique l'axiome du choix.
d'où ma réponse "non, ce n'est pas la même question"
Ensuite, concernant ta deuxième reformulation de ton premier post, oui, vu la généricité de la question volontairement vague, on peut le dire ainsi: "quelle dose de choix minimum entraine (2)?"
Bon, je finis par m'embrouiller avec tous ces énoncés différents, m'en faut pas trop lool.
Donc, le mieux, je reformule tous mes sentiments initiaux:
1) Cargol prouve qu'un ev avec une base admet une norme à son premier post.
2) AC équivaut à tout ev admet une base
3) Il est à priori plus faible de dire que tout ev admet une norme.
4) J'ai demandé si c'était carrément tellement faible que c'en était prouvable sans AC.
5) On peut aussi envisager que ce soit "tellement fort" que ça implique AC
6) Entre les 2, y a le Tibet à explorer
7) Quand tu as reformulé (4) en (5) j'ai donc répondu "non", car je penche instinctivement pour une certaine "faiblesse" de l'énoncé "tout ev admet une norme" et donc (5) me parait une autre question
8) La question non formelle: où est la bonne réponse entre (4) et (5) me paraissait une bonne reformulation de ma questionAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
à Zephir, oui, je confirme que si pour tout ev il existe des endo non triviaux alors il existe une partie de $\R$ non Lebesgues mesurable entre autre, et comme il est consistant que tout ensemble est mesurable, il est consistant que $\R$ en tant que $\Q$ ev n'ait que des homothéties comme endo.
Bon, là on parlait de $\R$ endo.
Non, ça n'impliquera pas AC je pense par contre (que tout ev admette un endo non trivial sauf cas trivialement impossible). L'existence d'une base est un truc fort. L'existence d'un endo non trivial est plus cool, de même que l'existance d'une norme.
Précision (lool j'allais écrire Remarque): pour prouver la consistance de "toute application additive de $\R$ dans $\R$ est de la forme $x\mapsto ax$, il n'y a pas besoin de supposer quoique ce soit de plus fort que la consistance de ZF (alors qu'on part d'un inaccessible pour obtenir que tout ens est Lebesgues mesurable, et on peut prouver que c'est obligatoire, ie, si tous les ens sont Lebesgue mesurables alors il y a un modèle interne qui croit à l'existance d'au moins un inaccessible)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour et merci pour vos réponses.
Pensez-vous qu'il est possible de prouver cette proposition (normes équivalentes donc dimension finie) sans l'axiome du choix?
Je pensais notamment à une preuve un peu comme pour le théorème de Riesz... -
La question se pose, mais j'avoue n'avoir aucune idée de la réponse. M'est avis que ce serait non. Il ne m'étonnerait pas plus que ça qu'on ne puisse pas normer tous les espaces de dimension inifinie, et donc encore moins d'y mettre 2 normes non équivalentes.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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