Fonctions holomorphes

Bonjour,

Tu te places sur un disque épointé centré au point qui pose problème, et tu considères la série de Laurent de la fonction, qui est holomorphe sur ce disque épointé.

Tu veux prouver que la fonction est holomorphe dans tout le disque, il faut donc la développer en série entière au voisinage du point qui ennuie.
Dans le disque épointé, il est possible de développer en série de Laurent. Pour ce faire la seule propriété d'holomorphie intervient.
Il reste donc à prouver que la série de Laurent se réduit à une série entière ; pour y arriver, on a besoin d'un petit truc en plus : la fonction est bornée.

L'analyse complexe (en licence il y a dix ans, en L3 maintenant), c'est l'analyse des fonctions d'une variable complexe. Plus précisément, on s'intéresse aux fonctions $f$ qui sont « dérivables au sens complexe », c'est-à-dire que l'on a, en tout point $z_0$ de l'ouvert où elle est définie, une limite finie $\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$.

Ça n'a l'air de rien mais c'est une condition beaucoup plus exigeante que la différentiabilité si on considère $f$ comme une fonction de deux variables réelles ($(x,y)$, avec $z=x+\mathrm{i}y$). En effet, une telle fonction est automatiquement indéfiniment différentiable et même analytique, c'est-à-dire développable en série entière sur un voisinage convenable de n'importe quel point. Sidérant.

La sidération suivante arrive quand on calcule des intégrales de ces fonctions sur des courbes fermées. Au lieu de calculer des primitives, ce qu'on est en général incapable de faire, on ramène le calcul à un calcul local, autour des points singuliers de la fonction (là où elle n'est pas dérivable au sens précédent – on suppose que ces points sont isolés). C'est la formule des résidus, qui permet de calculer des tas et des tas d'intégrales, par exemple, $\int_0^{+\infty}\sin(x^2)\mathrm{d}x$, ou des sommes, par exemple $\sum_{n\in\Z}1/(n^2+1)$ ou plus généralement $\sum_{n\in\Z}F(n)$ pour $F$ fraction rationnelle de degré $\le-2$.