Fonctions C1 par morceaux

Avignon
Avignon
dans Analyse
Bonjour,
j'ai un peu de mal à comprendre la notion de fonctions C1 par morceaux.
L'affirmation suivante est-elle vraie ?

f est C1 par morceaux sur [a,b] si et seulement si :
- f est continue par morceaux
- f est dérivable sauf en un nombre fini de point
- f' admet une limite à gauche et à droite en tout point où elle est définie

Si ce n'est pas le cas, a-t-on une caractérisation simple de cette notion ?

merci

Réponses

  • girdav
    girdav
    Bonjour,
    la définition de $f$ de classe $C^1$ par morceaux sur $\left[a,b\right]$ c'est : il existe un nombre fini de points $a_1<\ldots<a_n\in \left[a,b\right]$ tels que $f$ soit de classe $C^1$ sur tout intervalle $\left]a_i,a_{i+1}\right[$ avec $i\in \left\{1,\ldots,n-1\right\}$.
    Ici, il faut voir si les hypothèse impliquent que la dérivée est continue.
  • remarque
    remarque
    En fait, il y a plusieurs définitions pas toujours explicitées suivant le contexte. Une autre définition est que la restriction de $f$ à $[a_i,a_{i+1}]$ soit $C^1([a_i,a_{i+1}])$, c'est-à-dire qu'il y ait une dérivée à droite et à gauche (quand il y a de la place à droite et à gauche) en chaque $a_i$.
  • remarque
    remarque
    Oui, j'aurais pu lire les deux posts précédents, c'était pas la mort. Donc la définition que j'ai donnée correspond à celle d'Avignon à condition de remplacer « dérivable sauf en un nombre fini de points » par « continûment dérivable sauf en un nombre fini de points » (parce que la dernière condition d'Avignon ne suffit peut-être pas à assurer le caractère $C^1$, et en tout cas si elle marche, en donne une caractérisation inutilement torturée). Celle de girdav autorise toute sortes d'oscillations de la dérivée du genre $f(x)=0$ pour $x\le 0$, $f(x)=x\sin(1/x)$ pour $x>0$.
  • Avignon
    Avignon
    OK merci pour ces précisions !
  • mcd
    mcd
    Bonjour,

    Si $u$ est continue et $\mathcal C^{1}$ par morceaux, je lis que
    $$
    F(t) = c + \int_{0}^{t} {u’ \over u } (s) ds

    $$ est aussi $\mathcal C^1$ par morceaux. Mais je trouve ça bizarre ne serait-ce même d’intégrer sur l’intervalle tout entier.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Il manque au moins une hypothèse, la relation définissant $F$ pose problème si $u$ est la fonction nulle.

    Cordialement.
  • gebrane
    gebrane
    Même si u>0, il y a un problème ! edit je retire, il n' y a pas de problème dans ce cas.
    (J'en profite pour remercier un intervenant dans ce fil qui m'a soutenu moralement pendant mon combat contre le covid19).
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    Peut-être que la borne inférieure de l’intégrale est plutôt $1$ ?
  • mcd
    mcd
    La fonction $u$ est à valeur dans $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ et en fait si on considère que $\mathcal C^{1}$ par morceaux implique prolongement de la dérivée par continuité au bord des $[a_{i}; a_{i+1}]$ c'est ok.
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Avignon a clairement écrit. Un intervalle inclus dans $\mathbb{C}$, qu'est-ce-que c'est? Plus bas, il y a plusieurs lignes incluses sur cette surface de Riemann représentée en 2D!
    :-D
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
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