Bonjour, je souhaiterais de l'aide sur l'exo suivant :
Je dois expliciter le calcul de l'application linéaire différentielle de la norme $\| \cdot \|_E$ en $ x \neq 0 $ dans $E$ euclidien.
Merci pour vos informations
Soit $x\neq 0.$ $$\|x+h\|-\|x\|=\frac{\|x+h\|^2-\|x\|^2}{\|x+h\|+\|x\|}=\frac{2\langle x,h\rangle+\|h\|^2}{\|x+h\|+\|x\|}=\langle \frac{x}{\|x\|},h\rangle+\|h\|\epsilon_x(h).$$ La différentielle est la forme linéaire $h\mapsto \langle \frac{x}{\|x\|},h\rangle.$ Ou encore, puisque dans un espace euclidien la différentielle d'une fonction est décrite par le gradient: le gradient de $x\mapsto \|x\|$ est $\frac{x}{\|x\|}.$ En $x=0$ ce n'est pas différentiable.
Bonjour Gerard :
Merci pour ta réponse.
Peu tu m'expliquer comment tu as passé de : $ \dfrac{2\langle x,h\rangle+\|h\|^2}{\|x+h\|+\|x\|} $ à : $ \langle \dfrac{x}{\|x\|},h\rangle+\|h\|\epsilon_x(h) $
Merci d'avance
J'ai pensé à établir la differentielle comme ça :
$ x \longrightarrow || x || = \sqrt{ < x,x > } = f \circ g $
avec : $ f (x) = \sqrt{x} $ et $ g(x) = <x,x> $.
Donc :
$ D||.||(x) = D(f \cic g ) = Df(g(x)) Dg(x) $
On a : $ < x+h , x+h > - < x,x > = 2 <x,h> + <h,h> $
On pose, donc : $ Dg(x)(h) = 2<x,h> $
D'autre part : $ Df(g(x)) = \frac{1}{\sqrt{g(x)}} = \frac{1}{\sqrt{<x,x>}} = \frac{||x||} $
Par conséquent :
$ D||.||(x)(h) = \frac{1}{||x||} \times 2 <x,h> $
J'aimerai que tu m'expliques comment tu fais Gerard pour établir ta dernière égalité.
MErci d'avance.
Par définition $ \epsilon_x(h) =-\langle \frac{x}{\|x\|},\frac{h}{\|h\|}\rangle \times \frac{\|x+h\|-\|x\|}{\|x+h\|+\|x\|},$
qui tend bien vers 0 avec $h.$ Cette méthode est pour illustrer la définition de la différentielle. Ta méthode est correcte pour $x\mapsto \|x\|^2$ mais pour utiliser ca pour la différentielle de $x\mapsto \|x\|$ il faut composer avec la fonction racine et utiliser le th des fonctions composées. Je ne comprends d'ailleurs pas ton 'par conséquent'. Amicalement.
Bonjour,
Pourriez vous m'aider à trouver la differentielle de l'application suivante :
$$ f(x) = e^{||x||} $$
avec : $ ||.|| $ la norme euclidienne d'un espace vectoriel $ E $?
Merci pour votre aide.
Cher Brad,
Là, l'utilisation de la formule de dérivation d'un produit de composition se justifie car on connaît la dérivée de exp: lR ----> lR et celle de ll.ll: x l---> llxll.
Alors que pour le calcul de la dérivée de la norme, c'était un peu inutile, il suffisait de revenir à la définition (ce qu'il faut savoir faire aussi).
Pour tout x ≠ 0, tout h: f(x) = (exp o ||.||)(x) ===> Df(x).h = D(exp)(ll.ll(x))[Dll.ll(x).h] = exp llxll.(xlh).llxll–1, d'après le résultat déjà trouvé.
Le résultat est valide dans tout espace préhilbertien.
En x = 0, tu ne peux pas appliquer ce qui précède car ll.ll n'est pas dérivable en 0. Là tu reviens à la définition: f(0 + h) – f(0) = e||h|| – 1 =? f'(0).h + llhll.e(h) où lim e(h) = 0. Je te laisse opérer ...
Essaie x l---> sin llxll, etc.
Bien cordialement.
Bonjour C.Pluquaire :
$$ D(\sin(x))(||.||)(x)(h) = \cos ( ||x|| ) (x|h) \frac{1}{||x||} $$
Maintenant j'aimerai trouver la differentielle de l'application suivante :
$$ t \longrightarrow \int f(x(t),y(t),z(t)) \cos (tx) dx $$
en cherchant les conditions sur $ f(x(t),y(t),z(t)) \cos (tx) $ pour que la differentielle ait un sens.
Merci d'avance pour votre aide.
Réponses
Merci pour ta réponse.
Peu tu m'expliquer comment tu as passé de : $ \dfrac{2\langle x,h\rangle+\|h\|^2}{\|x+h\|+\|x\|} $ à : $ \langle \dfrac{x}{\|x\|},h\rangle+\|h\|\epsilon_x(h) $
Merci d'avance
$ x \longrightarrow || x || = \sqrt{ < x,x > } = f \circ g $
avec : $ f (x) = \sqrt{x} $ et $ g(x) = <x,x> $.
Donc :
$ D||.||(x) = D(f \cic g ) = Df(g(x)) Dg(x) $
On a : $ < x+h , x+h > - < x,x > = 2 <x,h> + <h,h> $
On pose, donc : $ Dg(x)(h) = 2<x,h> $
D'autre part : $ Df(g(x)) = \frac{1}{\sqrt{g(x)}} = \frac{1}{\sqrt{<x,x>}} = \frac{||x||} $
Par conséquent :
$ D||.||(x)(h) = \frac{1}{||x||} \times 2 <x,h> $
J'aimerai que tu m'expliques comment tu fais Gerard pour établir ta dernière égalité.
MErci d'avance.
qui tend bien vers 0 avec $h.$ Cette méthode est pour illustrer la définition de la différentielle. Ta méthode est correcte pour $x\mapsto \|x\|^2$ mais pour utiliser ca pour la différentielle de $x\mapsto \|x\|$ il faut composer avec la fonction racine et utiliser le th des fonctions composées. Je ne comprends d'ailleurs pas ton 'par conséquent'. Amicalement.
Cher Brad,
Je crois que tu as oublié que (1√x)' = 1 / 2√x, et non 1 / √x.
Bien cordialement.
Pourriez vous m'aider à trouver la differentielle de l'application suivante :
$$ f(x) = e^{||x||} $$
avec : $ ||.|| $ la norme euclidienne d'un espace vectoriel $ E $?
Merci pour votre aide.
Cher Brad,
Là, l'utilisation de la formule de dérivation d'un produit de composition se justifie car on connaît la dérivée de exp: lR ----> lR et celle de ll.ll: x l---> llxll.
Alors que pour le calcul de la dérivée de la norme, c'était un peu inutile, il suffisait de revenir à la définition (ce qu'il faut savoir faire aussi).
Pour tout x ≠ 0, tout h: f(x) = (exp o ||.||)(x) ===> Df(x).h = D(exp)(ll.ll(x))[Dll.ll(x).h] = exp llxll.(xlh).llxll–1, d'après le résultat déjà trouvé.
Le résultat est valide dans tout espace préhilbertien.
En x = 0, tu ne peux pas appliquer ce qui précède car ll.ll n'est pas dérivable en 0. Là tu reviens à la définition: f(0 + h) – f(0) = e||h|| – 1 =? f'(0).h + llhll.e(h) où lim e(h) = 0. Je te laisse opérer ...
Essaie x l---> sin llxll, etc.
Bien cordialement.
$$ D(\sin(x))(||.||)(x)(h) = \cos ( ||x|| ) (x|h) \frac{1}{||x||} $$
Maintenant j'aimerai trouver la differentielle de l'application suivante :
$$ t \longrightarrow \int f(x(t),y(t),z(t)) \cos (tx) dx $$
en cherchant les conditions sur $ f(x(t),y(t),z(t)) \cos (tx) $ pour que la differentielle ait un sens.
Merci d'avance pour votre aide.