Norme et différentielle

brad · September 2010

Bonjour, je souhaiterais de l'aide sur l'exo suivant :
Je dois expliciter le calcul de l'application linéaire différentielle de la norme $\| \cdot \|_E$ en $ x \neq 0 $ dans $E$ euclidien.
Merci pour vos informations

Gérard Letac · September 2010

Soit $x\neq 0.$ $$\|x+h\|-\|x\|=\frac{\|x+h\|^2-\|x\|^2}{\|x+h\|+\|x\|}=\frac{2\langle x,h\rangle+\|h\|^2}{\|x+h\|+\|x\|}=\langle \frac{x}{\|x\|},h\rangle+\|h\|\epsilon_x(h).$$ La différentielle est la forme linéaire $h\mapsto \langle \frac{x}{\|x\|},h\rangle.$ Ou encore, puisque dans un espace euclidien la différentielle d'une fonction est décrite par le gradient: le gradient de $x\mapsto \|x\|$ est $\frac{x}{\|x\|}.$ En $x=0$ ce n'est pas différentiable.

brad · September 2010

Bonjour Gerard :
Merci pour ta réponse.
Peu tu m'expliquer comment tu as passé de : $ \dfrac{2\langle x,h\rangle+\|h\|^2}{\|x+h\|+\|x\|} $ à : $ \langle \dfrac{x}{\|x\|},h\rangle+\|h\|\epsilon_x(h) $
Merci d'avance

brad · September 2010

J'ai pensé à établir la differentielle comme ça :
$ x \longrightarrow || x || = \sqrt{ < x,x > } = f \circ g $
avec : $ f (x) = \sqrt{x} $ et $ g(x) = <x,x> $.
Donc :
$ D||.||(x) = D(f \cic g ) = Df(g(x)) Dg(x) $
On a : $ < x+h , x+h > - < x,x > = 2 <x,h> + <h,h> $
On pose, donc : $ Dg(x)(h) = 2<x,h> $
D'autre part : $ Df(g(x)) = \frac{1}{\sqrt{g(x)}} = \frac{1}{\sqrt{<x,x>}} = \frac{||x||} $
Par conséquent :
$ D||.||(x)(h) = \frac{1}{||x||} \times 2 <x,h> $
J'aimerai que tu m'expliques comment tu fais Gerard pour établir ta dernière égalité.
MErci d'avance.

Gérard Letac · September 2010

Par définition $ \epsilon_x(h) =-\langle \frac{x}{\|x\|},\frac{h}{\|h\|}\rangle \times \frac{\|x+h\|-\|x\|}{\|x+h\|+\|x\|},$
qui tend bien vers 0 avec $h.$ Cette méthode est pour illustrer la définition de la différentielle. Ta méthode est correcte pour $x\mapsto \|x\|^2$ mais pour utiliser ca pour la différentielle de $x\mapsto \|x\|$ il faut composer avec la fonction racine et utiliser le th des fonctions composées. Je ne comprends d'ailleurs pas ton 'par conséquent'. Amicalement.

C. de Pluquaire · September 2010

Bonne nuit à tous,

Cher Brad,
Je crois que tu as oublié que (1√x)' = 1 / 2√x, et non 1 / √x.

Bien cordialement.

brad · September 2010

Bonjour,
Pourriez vous m'aider à trouver la differentielle de l'application suivante :
$$ f(x) = e^{||x||} $$
avec : $ ||.|| $ la norme euclidienne d'un espace vectoriel $ E $?
Merci pour votre aide.

C. de Pluquaire · September 2010

Bonne nuit à tous,

Cher Brad,
Là, l'utilisation de la formule de dérivation d'un produit de composition se justifie car on connaît la dérivée de exp: lR ----> lR et celle de ll.ll: x l---> llxll.
Alors que pour le calcul de la dérivée de la norme, c'était un peu inutile, il suffisait de revenir à la définition (ce qu'il faut savoir faire aussi).
Pour tout x ≠ 0, tout h: f(x) = (exp o ||.||)(x) ===> Df(x).h = D(exp)(ll.ll(x))[Dll.ll(x).h] = exp llxll.(xlh).llxll^–1, d'après le résultat déjà trouvé.
Le résultat est valide dans tout espace préhilbertien.
En x = 0, tu ne peux pas appliquer ce qui précède car ll.ll n'est pas dérivable en 0. Là tu reviens à la définition: f(0 + h) – f(0) = e^||h|| – 1 =? f'(0).h + llhll.e(h) où lim e(h) = 0. Je te laisse opérer ...
Essaie x l---> sin llxll, etc.
Bien cordialement.

brad · September 2010

Bonjour C.Pluquaire :
$$ D(\sin(x))(||.||)(x)(h) = \cos ( ||x|| ) (x|h) \frac{1}{||x||} $$
Maintenant j'aimerai trouver la differentielle de l'application suivante :
$$ t \longrightarrow \int f(x(t),y(t),z(t)) \cos (tx) dx $$
en cherchant les conditions sur $ f(x(t),y(t),z(t)) \cos (tx) $ pour que la differentielle ait un sens.
Merci d'avance pour votre aide.

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