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Ensemble de voisinages et topologie

Envoyé par Bruno_1 
Ensemble de voisinages et topologie
il y a neuf années
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Bonjour,

J'ai du mal à comprendre une proposition donnée dans la "Topologie générale" de Bourbaki. Dans le cas où vous voudriez vous référer à l'ouvrage en question, je vous donne les références exactes de l'édition dont je dispose : " Eléments de mathématiques / Livre III, Topologie générale, chapitre 1, éditions Hermann, 1961."

Au début du chapitre 1, la Défintion 4 nous donne la définition d'un voisinage :

Dans un espace topologique $X$, on appelle voisinage d'une partie $A$ de $X$ tout ensemble qui contient un ensemble ouvert contenant $A$.

Plus loin, juste après la proposition 1 (page 17 de mon édition), je lis le paragraphe suivant :

Désignons par $B(x)$ l'ensemble des voisinages de $x$. Les ensembles $B(x)$ jouissent des propriétés suivantes :

($V_I$) Toute partie de $X$ qui contient un ensemble de $B(x)$ appartient à $B(x)$.
($V_{II}$) Toute intersection finie d'ensembles de $B(x)$ appartient à $B(x)$.
($V_{III}$) L'élément $x$ appartient à tout ensemble de $B(x)$
($V_{IV}$) Si $V$ appartient à $B(x)$, il existe un ensemble $W$ appartenant à $B(x)$, tel que pour tout $y \in W$, $V$ appartienne à $B(y)$.


Le problème que je rencontre se situe dans l'énoncé de la Proposition 2, donnée juste après ce paragraphe :

Proposition 2. Si, à chaque élément $x$ d'un ensemble $X$, on fait correspondre un ensemble $B(x)$ de parties de $X$ de sorte que les propriétés $V_{I}$, $V_{II}$, $V_{III}$ et $V_{IV}$ soient vérifiées, il existe une structure topologique et une seule sur $X$, telle que pour tout $x \in X$, $B(x)$ soit l'ensemble des voisinages de $X$ pour cette topologie.

=> Ma question :

Comme vous l'aurez remarqué, dans cette Proposition 2, on considère l'espace $X$ abstraction faite de toute topologie qu'il pourrait posséder (puisque le but de la proposition est justement d'un construire une). Ainsi, l'ensemble $B(x)$, dont il est fait mention au début de la proposition, n'est pas (encore) l'ensemble des voisinages de $x$ : il s'agit seulement d'un ensemble de parties de $X$ qui vérifient les propriétés $V_{I}$, $V_{II}$, $V_{III}$ et $V_{IV}$.
Or, la vérification de la propriété $V_{IV}$ me pose problème : en effet, cette propriété fait intervenir un ensemble $B(y)$ qui, si l'on se place dans un espace topologique, représente l'ensemble des voisinages de $y$. Or, dans le cadre de la proposition 2, aucune topologie n'a été définie a priori sur $X$ : ainsi $B(y)$ a le même statut que $B(x)$, c'est-à-dire qu'il figure dans une définition qui est justement censé le définir.

Bref, comment comprenez-vous cet énoncé de la proposition 2 en relation avec les propriétés $V_{I}$, $V_{II}$, $V_{III}$ et $V_{IV}$ considérées indépendamment de l'existence d'une topologie ?

Merci d'avance pour vos réponses.
Re: Ensemble de voisinages et topologie
il y a neuf années
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Salut,

je ne comprends pas bien ce qui te gene. Dans la proposition, sans parler de topologie, on se donne pour chaque $x$ de $X$ un ensemble $B(x)$. Donc $B(x)$ et $B(y)$ sont donnés, sans qu'on ait besoin de parler pour l'instant de topologie ou de voisinage, et ca a bien un sens de verifier l'axiome IV.

Tu dis :

"ainsi $ B(y)$ a le même statut que $ B(x)$, c'est-à-dire qu'il figure dans une définition qui est justement censé le définir."

C'est le contraire : on se donne les $B(x)$, et on les utilise pour definir une topologie.
Re: Ensemble de voisinages et topologie
il y a neuf années
avatar
J'ajoute que les axiomes I à IV sont purement ensemblistes, et au fond ce qu'on se donne c'est seulement une application $B : X \rightarrow \mathcal{P}\big(\mathcal{P}(X)\big)$ donc tout ceci fait sens. Et la proposition dit : si $B$ vérifie les axiomes (ce qui encore une fois est une condition purement ensembliste) alors il existe une topologie telle que $B$ fournisse l'ensemble des voisinages de chaque point de $X$.
Re: Ensemble de voisinages et topologie
il y a neuf années
Bonjour,
Je plussoye Jobherzt en insistant lourdement sur le fait que ton théorème commence par un quantificateur universel~: "Si, à chaque élément $ x$ d'un ensemble $ X$~... ", donc $x$ peut s'appeler $y$~...
Re: Ensemble de voisinages et topologie
il y a neuf années
avatar
Merci pour vos réponses, jobhertz et Braun.

Je crois que je fais une mauvaise interprétation des axiomes $V_{I}$, $V_{II}$, $V_{III}$ et $V_{IV}$.

Je vais essayer de détailler ce qui me pose problème pour vous faire mieux comprendre ce que je ne comprends pas.

Plaçons nous dans le cadre de cette Proposition 2. Je considère ainsi, en dehors de toute topologie, un ensemble $B(x)$ de parties de $X$ et je dis que $B(x)$ vérifie les axiomes $V_{I}$, $V_{II}$, $V_{III}$ et $V_{IV}$.

Cela signifie que, lorsque je lis l'axiome $V_{IV}$, $B(x)$ vérifie : si $V$ appartient à $B(x)$, il existe un ensemble $W$ appartenant à $B(x)$, tel que pour tout $y \in W$, $V$ appartienne à $B(y)$.

Et là, je vois apparaître l'objet $B(y)$ et je me demande ce qu'il peut être. Pour le savoir, j'applique à $B(y)$ les axiomes $V_{I}$, $V_{II}$, $V_{III}$ et $V_{IV}$. Donc $B(y)$ vérifie $V_{IV}$, c'est-à-dire : si $V$ appartient à $B(y)$, il existe un ensemble $W$ appartenant à $B(y)$, tel que pour tout $z \in W$, $V$ appartienne à $B(z)$.

Et là, je suis de nouveau face à un nouvel objet : $B(z)$ et, pour savoir ce qu'il représente, je considère à nouveau les axiomes $V_{I}$, $V_{II}$, $V_{III}$, $V_{IV}$, et ainsi de suite.

On dirait que la définition de $B(x)$, indépendamment de toute topologie, est auto-référentielle.

Sans doute que j'interprète mal cette propriété $V_{IV}$. Pourriez-vous me dire quelle est mon erreur de raisonnement ?
Re: Ensemble de voisinages et topologie
il y a neuf années
Bonsoir.

Ton erreur est là :
Citation

Je considère ainsi, en dehors de toute topologie, un ensemble $ B(x)$ de parties de $ X$
Ce n'est pas ce que dit la proposition !
Relis le message de Braun.

Cordialement.
Re: Ensemble de voisinages et topologie
il y a neuf années
avatar
Je ne vois toujours pas...

Deja tu commences par "on se donne un ensemble de partie $B(x)$", ca n'est pas ca, on se donne un tel ensemble {\bf pour chaque $x$ de $X$} !

Ensuite, a t'entendre on dirait que l'axiome IV definit $B(y)$, bien sur que non, $B(y)$ est donné par hypothese, la proposition dit bien "{\bf Si} la famille $\{B(x), x\in X\}$ verifie les axiomes, {\bf alors} ca determine une certaine topologie uniquement."

Encore une fois, $B(y)$ aussi bien que $B(x)$ est {\bf donné} au depart, tu ne les decouvres pas au moment ou tu testes l'axiome IV..
Re: Ensemble de voisinages et topologie
il y a neuf années
avatar
Pour dire ca en un moet : l'axiome IV n'est pas une definition de $B(x)$, mais une propriété que verifie la famille des $B(x)$ par hypothese. Puisque ca n'est pas une definition, elle n'est donc pas auto referentielle :)

Et la proposition 2 definis une topologie {\bf à partir} de la donnée des $B(x)$. Je ne vois pas bien comment dire les choses autrement.
Re: Ensemble de voisinages et topologie
il y a neuf années
avatar
Ok. Merci encore, jobhertz et gerard0.

Je me suis embrouillé tout seul parce que je n'arrivais pas à découpler les axiomes $V_i$ de la notion de voisinage, donc de la présence d'une topologie.

Avec vos remarques, je vois mieux les choses : pour tout $x \in X$, on se donne un ensemble $B(x)$ de parties de $X$ qui vérifie les "propriétés" $V_i$ ; propriétés qui ne "définissent" à proprement parler rien du tout : elles caractérisent simplement l'ensemble $B(x)$.
Re: Ensemble de voisinages et topologie
il y a neuf années
Il t'a été répondu sur le fond particulier de la manière suivante:

tu apportes un témoignage que tu as lu que tu vois dans Boubaki un théorème de la forme:

$\forall x: R(x)\to (\exists t: x=Z(t))$

et déclares que tu es gêné par le fait que "R(x)" semble être une définition circulaire (ou le t concerné, etc) ou un truc dans le genre et tu as compris ensuite les réponses. Par ailleurs d'une certaine manière si on extrapole, tu étais presque gêné par aussi le fait que sur le principe, tu ne voyais même pas la dedans pourquoi finalement on aurait pu avoir $\exists R(x)$, or il n'aurait même pas du tout été gênant que $\forall x :nonR(x)$ de toutes façons

En fait, je poste juste pour te signaler que de toutes façons dans les maths et la science, d'une manière plus générale, la différence de statut entre axiomes, hypothèses et définitions n'est pas si importante. En fait, très honnêtement, le fait que "tous textes réunis" une affirmation que "A:=B" puisse être considéré comme une définition (et non un simple axiome "A=B" ) nécessite d'explorer la totalité du graphe pour vérifier qu'un certain arbre est bien fondé. Sinon, on peut raisonnablement parler de quelque chose qui "a l'air localement d'être une définition" ** :D

Beaucoup de raisonnements au second ordre (quand on considére qu'on définit tel sous-ensemble de la structure et qu'on a supposé qu'un truc arrive à tous les sous-ensembles de la structure, par exemple), il faut avoir conscience qu'on "camoufle" légèrement des axiomes en leur donnant des "gouts" de définitions.

** et même là, faut aller voir si dans les 100 lignes précédentes, le symbole A n'a pas déjà été utilisé comme "variable" libre.
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