Ensemble de voisinages et topologie

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre une proposition donnée dans la "Topologie générale" de Bourbaki. Dans le cas où vous voudriez vous référer à l'ouvrage en question, je vous donne les références exactes de l'édition dont je dispose : " Eléments de mathématiques / Livre III, Topologie générale, chapitre 1, éditions Hermann, 1961."

Au début du chapitre 1, la Défintion 4 nous donne la définition d'un voisinage :

Dans un espace topologique $X$, on appelle voisinage d'une partie $A$ de $X$ tout ensemble qui contient un ensemble ouvert contenant $A$.

Plus loin, juste après la proposition 1 (page 17 de mon édition), je lis le paragraphe suivant :

Désignons par $B(x)$ l'ensemble des voisinages de $x$. Les ensembles $B(x)$ jouissent des propriétés suivantes :

($V_I$) Toute partie de $X$ qui contient un ensemble de $B(x)$ appartient à $B(x)$.
($V_{II}$) Toute intersection finie d'ensembles de $B(x)$ appartient à $B(x)$.
($V_{III}$) L'élément $x$ appartient à tout ensemble de $B(x)$
($V_{IV}$) Si $V$ appartient à $B(x)$, il existe un ensemble $W$ appartenant à $B(x)$, tel que pour tout $y \in W$, $V$ appartienne à $B(y)$.

Le problème que je rencontre se situe dans l'énoncé de la Proposition 2, donnée juste après ce paragraphe :

Proposition 2. Si, à chaque élément $x$ d'un ensemble $X$, on fait correspondre un ensemble $B(x)$ de parties de $X$ de sorte que les propriétés $V_{I}$, $V_{II}$, $V_{III}$ et $V_{IV}$ soient vérifiées, il existe une structure topologique et une seule sur $X$, telle que pour tout $x \in X$, $B(x)$ soit l'ensemble des voisinages de $X$ pour cette topologie.

=> Ma question :

Comme vous l'aurez remarqué, dans cette Proposition 2, on considère l'espace $X$ abstraction faite de toute topologie qu'il pourrait posséder (puisque le but de la proposition est justement d'un construire une). Ainsi, l'ensemble $B(x)$, dont il est fait mention au début de la proposition, n'est pas (encore) l'ensemble des voisinages de $x$ : il s'agit seulement d'un ensemble de parties de $X$ qui vérifient les propriétés $V_{I}$, $V_{II}$, $V_{III}$ et $V_{IV}$.
Or, la vérification de la propriété $V_{IV}$ me pose problème : en effet, cette propriété fait intervenir un ensemble $B(y)$ qui, si l'on se place dans un espace topologique, représente l'ensemble des voisinages de $y$. Or, dans le cadre de la proposition 2, aucune topologie n'a été définie a priori sur $X$ : ainsi $B(y)$ a le même statut que $B(x)$, c'est-à-dire qu'il figure dans une définition qui est justement censé le définir.

Bref, comment comprenez-vous cet énoncé de la proposition 2 en relation avec les propriétés $V_{I}$, $V_{II}$, $V_{III}$ et $V_{IV}$ considérées indépendamment de l'existence d'une topologie ?

Merci d'avance pour vos réponses.