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inégalité

Envoyé par pichi 
inégalité
il y a huit années
Svp, j'ai besoin d'aide ! Je bloque dans un exercice :
Soient a,b,c des réels strictement positifs, montrer que l'un au moins des trois réels a(1-b), b(1-c), c(1-a) est inférieur ou égal à 1/4.
Merci



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par pichi.
Re: aide svp :S
il y a huit années
avatar
Faut déjà qu'aucun de ces trois-là ne soit négatif...
Re: aide svp :S
il y a huit années
oui ils sont positifs..... mais comment faire?
ev
Re: aide svp :S
il y a huit années
avatar
Ben tu effectues leur produit pour commencer.

e.v.
Re: aide svp :S
il y a huit années
avatar
dans ma précipitation, je me suis mal exprimé:
essayons de construire un contre-exemple

Essayons de trouver 3 positifs a, b et c tels que a(1-b), b(1-a) etc...

En te répondant là, je me rends compte que tes 3 nombres ne sont pas définis de façon symétrique. Veux-tu vérifier ton énoncé?
Re: aide svp :S
il y a huit années
j'arrive a trouver que ce réel est inférieur a 1/4 mais non pas inférieur ou egal sad smiley
Re: aide svp :S
il y a huit années
avatar
Alors essaye d'exhiber un triplet pour lequel il serait égal à 1/4!
Re: inégalité
il y a huit années
oui je m'excuse l'enoncé c'est a(1-b), b(1-c), c(1-a)
Re: inégalité
il y a huit années
avatar
Allez balle au centre, on calme le jeu:
Citation
énoncé
Soient a,b,c des réels strictement positifs. Montrer que l'un au moins des trois réels a(1-b), b(1-c), c(1-a) est inférieur ou égal à 1/4.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par jacquot.
Re: inégalité
il y a huit années
Re: inégalité
il y a huit années
je comprend pas sad smiley
Re: inégalité
il y a huit années
Bonjour Pitchi.

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?
D'après ce que tu as dit, tu as montré qu'un des trois nombres a(1-b), b(1-c) et c(1-a) est inférieur à 1/4. Donc il est bien inférieur ou égal à 1/4.
Par contre, si ta preuve dit qu'il est strictement inférieur, elle est fausse. Car il existe un cas évident de valeurs de a, b et c pour lesquelles a(1-b)=b(1-c)=c(1-a)=1/4.

Si tu ne vois pas où est ton erreur, écris ta preuve, on te dira.

Cordialement.
Re: inégalité
il y a huit années
ma preuve :
b superieur ou egal a 1 donc -b inférieur ou egal a -1 donc 1-b inférieur ou egal a 0 par suite a(1-b) inférieur ou egal a 0 d'ou a(1-b) strictement inférieur a 1/4 mais non pas inférieur ou egal
Re: inégalité
il y a huit années
avatar
Citation
pichi
b superieur ou egal a 1
Ah bon, pourquoi?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par jacquot.
Re: inégalité
il y a huit années
ma reponse est juste ?
Re: inégalité
il y a huit années
avatar
Ben non, pichi,
Ton raisonnement n'est pas bon,
Tu commences par dire $b\geq1$ donc..
Mais qui te dit que $b\geq 1$ ?
en revanche si $b\geq 1$ alors $a(1-b)<1/4$

Donc, pour mettre ton inégalité en défaut, c'est à dire pour que $a(1-b)>1/4$ il faut que $b<1$

Maintenant, pour résoudre ton problème, tu devras sans doute travailler avec tes TROIS inégalités. M'étonnarait que t'y arrives avec une seule.

Par ailleurs, on t'a dit qu'on pouvait choisir les 3 nombres de sorte qu'on ait l'égalité. Essaye déjà de trouver quel est ce choix, ce la te donnera peut-être des idées...
Re: inégalité
il y a huit années
j'arrive pas sad smiley
Re: inégalité
il y a huit années
svp aidez moi :S
ev
Re: inégalité
il y a huit années
avatar
Pourquoi ne suis-tu pas mon indication ?

e.v.
Re: inégalité
il y a huit années
oui j'ai fait le produit mais je bloque apres..........
ev
Re: inégalité
il y a huit années
avatar
Est-ce que tu peux étudier les variations de $x\longmapsto x(1-x)$ ?

e.v.

[La case LaTeX. ;) AD]
Re: inégalité
il y a huit années
Re: inégalité
il y a huit années
oui je peu
Re: inégalité
il y a huit années
et apres ?
ev
Re: inégalité
il y a huit années
avatar
Quelle est la valeur maximum ?

e.v.
Re: inégalité
il y a huit années
le maximum c 1/4
ev
Re: inégalité
il y a huit années
avatar
Par combien peux-tu majorer le produit de tes trois nombres de départ ?

e.v.
Re: inégalité
il y a huit années
par un seul majorant non?
Re: inégalité
il y a huit années
mais il doit étre un majorant absolu bien évidament
Re: inégalité
il y a huit années
Re: inégalité
il y a huit années
ev
Re: inégalité
il y a huit années
avatar
Donc combien ?

e.v.
Re: inégalité
il y a huit années
par un seul majorant
ev
Re: inégalité
il y a huit années
avatar
Oui, lequel choisis-tu ?

e.v.
Re: inégalité
il y a huit années
ev
Re: inégalité
il y a huit années
avatar
Tu peux le démontrer pour voir ?

J'ai peur que ça ne suffise pas pour la suite de toutes façons.

e.v.
Re: inégalité
il y a huit années
derivé = 1-2x puis g fait le tableau de variation je trouve que la derivé s'annule en 1/2 aussi
que la fonction est croissate de moins l'infini a 1/2 et decroissante de 1/2 a + l'infini avec un majorant 1/4
ev
Re: inégalité
il y a huit années
avatar
Oui, c'est bien, mais je te demande désormais de majorer le produit des trois nombres $a(1-b)$, $b(1-c)$, $c(1-a)$...

e.v.
Re: inégalité
il y a huit années
abc est le majorant
Re: inégalité
il y a huit années
c'est ça?
ev
Re: inégalité
il y a huit années
avatar
ça serait mieux de trouver UN majorant qui ne dépende pas de $a$, de $b$, ni de $c$.

ça serait mieux de ne faire qu'un exercice à la fois. Deux, voire trois en même temps, c'est au-dessus de mes forces...

e.v.
Re: inégalité
il y a huit années
je vous comprend pas
Re: inégalité
il y a huit années
est ce que vous pouvez me donner la solution directement svp.
Merci d'avance.
AD
Re: inégalité
il y a huit années
avatar
NON.
Lis la charte : [www.les-mathematiques.net]
Je ferme donc, le temps que tu réfléchisses.
AD



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
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