Image d'un opérateur borné

Arnufle
Arnufle
dans Analyse
Bonjour,


Je cherche à montrer que l'image d'un opérateur linéaire borné de X dans Y n'est pas nécessairement fermée dans Y.
Si je ne me trompe pas, il suffit d'exhiber un exemple d'opérateur linéaire borné dont l'image n'est pas fermée.
Je sais que pour trouver un tel exemple il faut me tourner vers un espace vectoriel de dimension infinie mais je n'arrive pas à trouver le bon.

Merci de votre aide!

Réponses

  • egoroffski
    egoroffski
    Salut,

    Tu connais peut-être des exemples d'injection continues et denses ?

    Sinon, tu peux prendre $Y=C([0,1])$ muni de la norme du sup $|| \cdot ||_{\infty}$, $X=C^1([0,1])$ muni de $f \mapsto ||f||_{\infty}+||f'||_{\infty}$ et $T \, : \, X \to Y, \, f \mapsto f$.
  • remarque
    remarque
    Tu peux prendre l'opérateur $T\colon \ell^1\to\ell^1$, $(T(x))_n=\frac{x_n}n$.
  • egoroffski
    egoroffski
    En fait, rien ne demande dans l'énoncé que $X$ et $Y$ soient complets. Donc tu prends pour $Y$ ton espace de dimension infinie préféré, $X \subset Y$ un sous-espace non fermé muni de la norme induite, et $T \, : \, X \to Y$ l'injection canonique.
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonne nuit à tous,

    Cher Arnufle,
    Contrairement à egorov, je pense que les espaces étaient complets mais que tu a oublié de le dire. Plus aucune illusion en ce qui concerne les apprenants ... :D
    Un exemple avec des Hilbert: X = Y = l2, A(x) = A(x1, ... ,xn, ...) = (a1x1,a2x2, ... ,anxn, ... ) où lim (an)n = 0. N'importe quel opérateur compact tel que Im(A) = oo, en fait.
    La différence avec l'exemple de remarque c'est que tu montreras plus facilement, peut-être, que adh[Im(A)] = E, du moins si tu connais un peu les Hilbert.
    Bien cordialement. :)
  • Arnufle
    Arnufle
    Tout d'abord je vous remercie pour la précision et la variété de vos solutions!
    L'énoncé que j'ai posé est bien le bon, mais il intervient dans le cadre d'un cours sur les espaces de Hilbert donc l'hypothèse doit être implicite.
    Merci encore.
  • Liedeberg
    Liedeberg
    Bonsoir,
    je rate peut-être quelque chose de gros mais je ne comprends pas pourquoi dans l’exemple donné par C. De pluquaire l’image de l’opérateur n’est pas fermée.
    Pour moi elle est bien fermée..
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