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fonction non continue

Envoyé par karll 
karll
fonction non continue
il y a trois années
Bonjour,

quelqu'un peut-il me donner un exemple d'une fonction f non continue en un point a qui a une limite en ce point differente de f(a) ?

Merci d'avance
Re: fonction non continue
il y a trois années
avatar
Par exemple la fonction $f$ indicatrice de l'ensemble $\{ 0 \}$. Elle a une limite en 0 (par valeurs différentes de 0) qui est 0, et $f(0)=1$.
Re: fonction non continue
il y a trois années
Les fonctions définies par partie répondent bien à ta question, par exemple la fonction
$$\begin{cases}
f(x)=\frac{\sin(x)}{x} &\text{si } x\in\R^*\\
f(0)=1&
\end{cases} $$
Re: fonction non continue
il y a trois années
Cette fonction est continue en 0, mais la fonction
$$\begin{cases}
f(x)=\frac{\sin(x)}{x} &\text{si } x\in\R^*\\
f(0)=0&
\end{cases} $$
n'est pas continue en zéro sa limite c'est $1$ qui est différente de $f(0)=0$
mamane
Re: fonction non continue
il y a trois années
la fonction partie entière !

sa limite à gauche est différente de sa limite à droite ==> pas de prolongement pas continuité
Re: fonction non continue
il y a trois années
avatar
Attention ici à la distinction entre limite et limite épointée. Dans l'exemple de mathsmaths, la limite à gauche et la limite à droite de $f$ en 0 sont égales à 1, donc sa limite épointée en 0 (ou limite en 0 par valeurs différentes de 0) est égale à 1, mais $f$ n'a pas de limite en 0 (on a $|f(0)-1|=1>\varepsilon$ pour tout $\varepsilon\in\,]0,1[$).

En fait si $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et que $a$ est un point de $I$, alors dire que $f$ admet une limite finie en $a$ revient à dire que $f$ est continue en $a$ (car la limite est alors forcément égale à $f(a)$).
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