encore une série !
bonjour, cette fois-ci je me bats avec la série des 1/(n²+1) ...
- ça ressemble à Zeta 2, mais ce n'est pas Zeta 2...
- j'ai décomposé la fraction en éléments simples : 1/n²+1= (1/2i) (1/(n-i) - 1/(n+i) ) en espérant tomber sur une série télescopique mais rien de concluant...des sinus apparaissent aussi, mais pas une bonne piste non plus...
...mais peut être cette série ne se calcule-t-elle pas analytiquement et donc exactement ?
merci pour votre expertise !
- ça ressemble à Zeta 2, mais ce n'est pas Zeta 2...
- j'ai décomposé la fraction en éléments simples : 1/n²+1= (1/2i) (1/(n-i) - 1/(n+i) ) en espérant tomber sur une série télescopique mais rien de concluant...des sinus apparaissent aussi, mais pas une bonne piste non plus...
...mais peut être cette série ne se calcule-t-elle pas analytiquement et donc exactement ?
merci pour votre expertise !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
d'où vient cette belle égalité ?? jamais entendu parler .
...ah ou alors on fait la restriction de ch(x) à [-Pi ; Pi] c'est ça ??
y -a-t-il un rapport avec les développements en série entière de exp(x) et ch(x) ou pas le moindre ?
je me demandais...
> $\pi\mbox{coth} (\pi x) = \frac{1}{x}
> +2\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{n^2+x^2}$
coth(x) - 1/x ça s'appelle pas la fonction de Langevin des fois ??
l'expression donnée par JLT est obtenue à partir du produit infini eulérien:
sh(pi.x)/[pi.x] = (1+x²)(1+x²/2²).........(1+x²/n²).........
(shx est le sinus hyperbolique de x)
il suffit de prendre le logarithme népérien de chaque membre de l'équation et de dériver par rapport à x soit:
pi/th(pi.x) - 1 = 2 fois la somme pour n = 1 jusqu'à +oo de 1/(n²+x²)
et pour x = 1 il vient la limite de la série de gustave = pi/[2.th(pi)] - 1/2
bonne nuit
Cher pancarte,
Voui ! B-)-
Bien cordialement.
> bonsoir
>
> l'expression donnée par JLT est obtenue à partir
> du produit infini eulérien:
>
> sh(pi.x)/ =
> (1+x²)(1+x²/2²).........(1+x²/n²).........
>
> (shx est le sinus hyperbolique de x)
>
> il suffit de prendre le logarithme népérien de
> chaque membre de l'équation et de dériver par
> rapport à x soit:
>
> pi/th(pi.x) - 1 = 2 fois la somme pour n = 1
> jusqu'à +oo de 1/(n²+x²)
>
> et pour x = 1 il vient la limite de la série de
> gustave = pi/[2.th(pi)] - 1/2
>
> bonne nuit
tiens encore des produits infinis !!
par contre tu l'obtiens comment ton développement en produit ?? pour moi c'est un mystère métaphysique...mais en effet ça marche !!
pour le produit infini en sh(pi.x)/(pi.x) tu peux passer par celui de sin(pi.x)/(pi.x) soit:
sin(pi.x)/(pi.x) = (1-x²).(1-x²/2²).(1-x²/3²)............(1-x²/n²)........qui est valable quel que soit x
pour x = i (imaginaire pur) il vient
sh(pi.x)/(pi.x) = (1+x²)(1+x²/2²).........(1+x²/n²).........
le produit infini en sinus peut être obtenu à partir des polynômes de Tchebychev factorisés en sinus
c'est la méthode la plus simple (mais Euler l'avait trouvé différemment)
cordialement