2 exercices d'analyse

même indéfiniment derivable pour t >1

Salut

Pour le premier, je pense qu'on peut raisonner de la manière suivante (il est possible qu'il y ait des erreurs, et je ne détaille pas, mais je n'ai pas le courage de mettre tout au propre).

Soit $t\in[n,n+1]$. Par l'inégalité des accroissements finis, on a $\displaystyle|h'(t)|\leq\dfrac{1}{t}\sup_{[t-1,t]}|h'|$.

Mais pour tout $u\in[t-1,t]$ on a de même $\displaystyle|h'(u)|\leq\dfrac{1}{u}\sup_{[u-1,u]}|h'|\leq\dfrac{1}{t-1}\sup_{[u-1,u]}|h'|$, etc...

En continuant de la sorte on obtient que $\displaystyle|h'(t)|\leq\dfrac{1}{t}\dfrac{1}{t-1}\ldots\dfrac{1}{t-n+1}\sup_{[1,n+1]}|h'|$, donc $|h'(t)|\leq\dfrac{M}{n!}$ où $\displaystyle M=\sup_{[1,+\infty[}|h'|$.

Maintenant, soit $n\geq 2$ et $t\in[n,n+1]$. On peut écrire $h(t)=-\displaystyle\int_{t}^{+\infty}h'(u)du$.

On a donc $|h(t)|\leq\displaystyle\int_{t}^{+\infty}|h'(u)|du\leq\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\int_{k}^{k+1}|h'(u)|du\leq M\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}\leq\dfrac{2M}{n!}$ (on a $\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}\leq\dfrac{2}{n!}$ si $n\geq2$).

Je te laisse finir.