Définition de la notion de série numérique
Bonsoir à tous.
Je me pose une question sur la définition du mot "série".
Dans de nombreux ouvrages de CPGE (par exemple le "Tout en un" de Dunod), une série numérique est définie comme étant une suite: la suite de ses sommes partielles.
Cette définition est simple, mais elle peut amener à prononcer la phrase défendue "la série converge vers sa somme".
Dans le Arnaudiès-Fraysse, la phrase "la série de terme général $u_n$ converge" est définie, sans que le mot "série" soit lui-même défini.
Dans le cours de spé que j'ai suivi, une série était définie comme un couple de deux suites, la suite de terme général $u_n$ et la suite des sommes partielles.
Je reconnais que ma question n'est pas passionnante, mais j'aimerais connaitre le choix de ceux qui doivent enseigner ce chapitre.
Merci d'avance.
Je me pose une question sur la définition du mot "série".
Dans de nombreux ouvrages de CPGE (par exemple le "Tout en un" de Dunod), une série numérique est définie comme étant une suite: la suite de ses sommes partielles.
Cette définition est simple, mais elle peut amener à prononcer la phrase défendue "la série converge vers sa somme".
Dans le Arnaudiès-Fraysse, la phrase "la série de terme général $u_n$ converge" est définie, sans que le mot "série" soit lui-même défini.
Dans le cours de spé que j'ai suivi, une série était définie comme un couple de deux suites, la suite de terme général $u_n$ et la suite des sommes partielles.
Je reconnais que ma question n'est pas passionnante, mais j'aimerais connaitre le choix de ceux qui doivent enseigner ce chapitre.
Merci d'avance.
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Réponses
Pourquoi la phrase "la série converge vers sa somme" est-elle défendue ?
Si une série converge c'est que c'est une suite. Et sa somme est sa limite. Quel défaut y a-t-il à dire "la suite converge vers sa limite ?"
Cordialement.
Effectivement, stricto sensu Arnaudiès ne définit pas le substantif "série" mais il passe tout de suite à la suite des sommes partielles pour définir la convergence d'une série, cela me paraît malgré tout assez sain.
Il est vrai que, personnellement j'évite de dire qu'une série "converge vers sa somme" et cela pour éviter le retour de la querelle des anciens et des modernes, pardon des propriétés des éléments de l'ensemble vide.
Pour moi, évidemment, cette phrase n'avait de sens qu'après la vérification de la convergence de la série. Et dire "converge vers 2" ou converge vers sa somme 2" n'a pas bien de différence, 2 étant appelé la somme de la série.
Cordialement.
une suite convergente, converge vers une limite finie, c'est la définition
une série convergente, converge également vers une limite finie qui est un nombre réel
par exemple: 2 = 1 + 1/2 + 1/2² + ........+ 1/2^n +........
le terme général de la série est 1/2^n et la limite est 2
si la limite est complexe ou infinie, la série est divergente
une série de sommes est une somme infinie de termes
qui forment une suite (dont u(n) est le terme général)
si la série converge, son terme général converge forcément
mais on parle aussi de série de produits par exemple
1 = (1 - 1/2)(1 - 1/3)........(1 - 1/n)........
le terme général de cette série de produits est 1 - 1/n
qui constitue une suite numérique convergente vers 1 par valeurs inférieures
et la limite de cette série de produits numériques est 1 (atteint par valeurs inférieures)
on définit aussi une série convergente d'exponentiations par exemple
2 = [rac(2)]^[rac(2)]^[rac(2)]^..........
on vérifie la limite 2 en commençant les exponentiations par la "queue" de la série
ou encore une série de quotients (j'en ai parlé récemment à propos du quotient infini des entiers premiers)
par exemple la série de quotients des entiers naturels converge vers rac(2/pi) = 1/2/3/4/........./n/.......
limite déterminée grâce aux intégrales de Wallis
une série numérique est donc une succession infinie d'opérations (somme, produit, quotient, exponentiations)
qui portent sur des termes de la forme u(n) qui constituent en eux-mêmes une suite numérique
une série de sommes converge vers la même limite
que la suite constituée de la somme partielle (algébrique) des termes arrêtée au rang n
mais parler de somme de la série à propos de la limite me paraît incorrect voire incohérent avec les définitions
cordialement
Est-il correct de dire "la série $\sum_{n\in \N} \frac{1}{2^n}$ converge vers 2", ou doit-on dire "la série $\sum_{n\in \N} \frac{1}{2^n}$ converge, et sa somme est égale à 2"?
Quand j'étais élève en CPGE, mes profs m'interdisaient la première formulation. Qu'en est-il aujourd'hui? Merci pour vos réponses.
comment justifiaient-ils cette interdiction ?
Définir une série numérique comme étant la suite des sommes partielles est un choix simple, mais qui doit présenter des inconvénients, puisque de nombreux profs et auteurs le refusent: justement, j'aimerais qu'on m'explique ces inconvénients que je ne vois pas du tout.
Merci d'avance!
Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Série_(mathématiques)#Notion_de_sommes_infinies ou http://fr.wikipedia.org/wiki/Famille_sommable#Exemple_pr.C3.A9liminaire.
je commence à comprendre, mais c'est vraiment idiot de définir la série par deux suites dont l'une se fabrique naturellement à partir de l'autre. Tout ça pour différencier la série de la suite. Je ne connais pas d'autre situation où la définition comporte un objet inutile.
Et comme il n'y a pas de risque (autre que la confusion suite/série) à utiliser un vocabulaire simple et des formulations simples, j'approuve la remarque de Remarque.
Cordialement.
1) Définir la série $\sum u_n$ comme la suite des sommes partielles $S_n$ ne concorde pas avec le fait que, dans un problème, c'est $u_n$ qui est donné et non $S_n$. De plus, si c'est uniquement $S_n$ qui est donné alors le produit de deux séries est compliqué à formuler.
2) Définir la série comme étant juste la suite $(u_n)$ est problématique car dans ce cas on ne différencie pas une suite d'une série : dans les deux cas, c'est une fonction de $\N$ dans (par exemple) $\R$, et la phrase "elle converge" est ambigüe.
Ceci explique pourquoi on définit la série de terme général $(u_n)$ comme le couple de suites $((u_n),(S_n))$ où $S_n=u_0+\cdots+u_n$. L'expression "la série $\sum u_n$" doit être considérée comme une abréviation pour l'expression "la série $((u_n),(S_n))$". On dit que $((u_n),(S_n))$ est une série convergente si la suite $(S_n)$ converge. La limite de $S_n$ s'appelle la somme de la série et non la limite de la série. En effet, le terme "limite" est réservé aux fonctions $f:E\to F$ d'un espace topologique vers un autre et a déjà un sens bien déterminé : la série $((u_n),(S_n))$ n'a pas pour limite la somme $S\in\R$ de la série, au sens où la série n'est pas une fonction $f$ de $\N$ dans $\R$ dont la limite en l'infini vaut $S$.
Cela dit, ce n'est probablement pas la seule manière de procéder pour définir la notion de série. Pour ma part, je propose de définir une série de terme général $u_n$ comme le couple $((u_n),\emptyset)\in\R^\N\times\{\emptyset\}$, ce qui évite les redondances et en même temps évite les confusions entre "série à valeurs réelles" et "suite à valeurs réelles".
Mais alors, pourquoi des profs et des auteurs brillants refusent-ils de définir une série comme la suite des sommes partielles (par exemple, Arnaudiès préfère ne pas définir le substantif "série")?
Ca c'est sûr, mais où est l'ambiguité entre « la suite converge » et « la série converge » ?
A propos du point 1 de la réponse de JLT, je ne suis pas convaincu du problème:
en définissant la série $\sum u_n$ comme la suite des sommes partielles $S_n$ , on donne un procédé qui définit $S_n$ directement en fonction de la suite$(u_n)$. Et puis, connaissant la suite $(S_n)$, on récupère sans problème les $u_n$.
Pourquoi ne pas dire qu'une série numérique est tout simplement une suite numérique, écrite sous une certaine forme?
et ainsi voir l'ensemble des séries numériques réelles comme étant exactement l'ensemble des suites réelles?
Je ne suis pas convaincu par tes arguments. Le 2 est purement rhétorique puisqu'on ne définit pas la série de terme général $u_n$ comme étant la suite $u$. Et pour le premier, je ne vois vraiment pas où est le problème puisque la série est justement donnée par les $u_n$. mais est un objet différent de la suite des $u_n$, ce qui est dit par le mot série.
J'ai l'impression que les mouches ont bien souffert !
Cordialement.
Merlin
> Ca c'est sûr, mais où est l'ambiguité entre « la
> suite converge » et « la série converge » ?
Si on veut vraiment être correct, pour pouvoir dire que ces deux expressions signifient des choses différentes il faut qu'une suite et une série soient deux objets distincts, càd ne doivent pas être le même élément du même ensemble $\R^\N$.
Deux objets différents doivent-ils être dans des ensembles différents ?
Plus sérieusement, si la série $\sum u_n$ est une suite (celle des $S_n$), il est tout naturel de parler de sa convergence. D'ailleurs, si c'est un couple de suites, la convergence n'a pas bien de sens (ce serait différent si c'était une suite de couples) : La convergence d'un objet fixe ?
Et si la série converge (si la suite des sommes partielles converge), il est naturel de parler de sa limite et de l'appeler somme pour rappeler l'origine du concept.
J'attends toujours une vraie explication du risque qu'il y a à faire cela.
Cordialement.
NB : Je viens de relire le Dieudonné "éléments d'analyse", il définit bien les séries comme constituées de 2 objets et fait ensuite une définition adaptée de la locution "la série converge". Mais comme tout le monde, il oublie très vite le couple pour ne se servir que de $x_n$ comme terme général et de la série $S_n$ pour la limite.
NBB : Pour moi, Dieudonné n'est pas une autorité.
Encore une fois, je ne vois aucune difficulté. On a qqpart une première définition :
Définition 1. On dit qu'une suite converge si elle est convergente.
puis une deuxième définition, s'appuyant sur la première
Définition 2. On dit qu'une série converge si la suite de ses sommes partielles converge au sens de la définition 1.
En prime.
Définition 3. On dit qu'une série est convergente si elle converge et on ne recevra pas une décharge de Taser si l'on dit quelle converge vers sa somme (sa somme ayant été définie à la Définition 2,5 que la marge est trop étroite pour que je l'écrive en entier).
En fait la série et la suite sont vraiment à la base le même objet, mais ce sont les notions de convergence pertinentes qui diffèrent (plus les opérations algébriques comme le produit) et on introduit naturellement un vocabulaire différent et une notation différente et naturelle. Bof.
> Bizarre ton exigence, JLT :
>
> Deux objets différents doivent-ils être dans des
> ensembles différents ?
Je n'ai pas dit exactement ça. Mais si on dit que la suite $(u_n)$ désigne l'élément $n\mapsto u_n$ de $\R^\N$, et que la série $\sum u_n$ désigne le même élément $n\mapsto u_n$ de $\R^\N$, alors d'après moi, prétendre que les phrases "la suite $(u_n)$ converge" et "la série $\sum u_n$ converge" signifient deux choses différentes me paraît abusif.
On appelle somme d'une série la limite, si elle existe, des sommes partielles.
Dès lors, avec :
- on appelle série de terme général $ u_n $ la suite des sommes partielles $ S_n $
- on dit d'une série qu'elle est convergente si la suite des sommes partielles est convergente
- on appelle somme d'une série convergente la limite de la suite des sommes partielles
il me semble que tout rentre dans l'ordre et que l'expression "la série converge vers sa somme" devient parfaitement licite ?
de reprendre tout à zéro. Mais JLT refuse que deux objets définis par les mêmes sous objets soient différents. Sans cela, le post se serait terminé plus tôt.
Cordialement.
On appelle suite d'éléments d'un ensemble E une famille d'éléments de E dont l'ensemble d'indices est l'ensemble N des entiers positifs ou une partie de N ; une suite dont l'ensemble des indices est N se note donc (x n) n € N, ou plus simplement (x n) quand aucune confusion n'est à craindre et on dit encore que c'est la suite de terme général x n ; l'élément x n est aussi appelé terme d'indice n de la suite. (Th. Ens., fasc. résul. § 7.8)
et de série :
Dans un groupe topologique abélien séparé G, noté additivement, considérons une suite de points (x n) et faisons-lui correspondre la suite des sommes partielles s n = sigma x p de p = 0 à n.
On appelle série définie par la suite (x n), ou série de terme général x n (ou simplement série (x n), par abus de langage, s'il ne risque pas d'y avoir de confusion), le couple des suites (x n) et (s n) ainsi associées. (Topologie générale III § 4.6)
On connaît le soin extrême accordé à la terminologie par Bourbaki. Par exemple :
n), on attribue deux sens différents à l'expression "terme général de cet objet", soit s n,
soit s n - s n-1, selon que l'on appelle cet objet suite ou série.
Enfin une bonne raison.
N'empêche que ça complique la présentation sans apporter quoi que ce soit à la technique mathématique.
Cordialement.
Merlin