équation fonctionnelle avec conjugué
Bonjour à tous,
J'ai commencé récemment un cours d'analyse complexe, et je me suis donc posé quelques questions liées à ce cours.
Pour comprendre le contexte, nous avons introduit le fait qu'une fonction complexe dépende algébriquement de $z$ et non de $\overline{z}$.
Ainsi j'ai réussi à démontrer que pour tout polynôme $P$ (sur $\mathbb{C}$) de degré plus grand ou égal à 1, il n'existe pas de polynôme $Q$ tel que $P(z)=Q(\overline{z})$
1) J'aimerais montrer la même chose que j'ai faite avec les polynômes, mais cette fois-ci pour des séries entières, donc remplacer $P$ et $Q$ par des séries entières (non triviales, au sens où non polynomiales puisque ce cas est déjà traité). Est-ce que le résultat est encore vrai ? A quoi le voit-on ?
En principe ce résultat doit être vrai puisqu'en cours où on nous a expliqué que l'intérêt d'une fonction holomorphe était de s'exprimer algébriquement en fonction de $z$ (j'entends algébriquement au sens où c'est une série entière), ce qui n'est pas le cas avec $\overline{z}$ en toute généralité.
2) J'en suis arrivé par cette question à me demander s'il existe des fonctions (non constantes) $f$ de classe $C^{\infty}$ (sur $\mathbb{C}$ à valeurs dans $\mathbb{C}$) telles que $f(z)=f(\overline{z}), \ \forall z$; sachant que la fonction conjuguée n'est dérivable nulle part.
En particulier j'aimerais caractériser ces fonctions (je n'en trouve pas des non constantes).
Enfin ma question peut se généraliser à $f \circ g$ où $g$ est non dérivable, j'y réfléchirai quand j'aurai déjà mes réponses pour mes autres questions.
Merci d'avance
PS : ne m'en voulez pas si mes questions vous paraissent triviales, comme je 'lai dit, je viens à peine de démarrer ce cours.
J'ai commencé récemment un cours d'analyse complexe, et je me suis donc posé quelques questions liées à ce cours.
Pour comprendre le contexte, nous avons introduit le fait qu'une fonction complexe dépende algébriquement de $z$ et non de $\overline{z}$.
Ainsi j'ai réussi à démontrer que pour tout polynôme $P$ (sur $\mathbb{C}$) de degré plus grand ou égal à 1, il n'existe pas de polynôme $Q$ tel que $P(z)=Q(\overline{z})$
1) J'aimerais montrer la même chose que j'ai faite avec les polynômes, mais cette fois-ci pour des séries entières, donc remplacer $P$ et $Q$ par des séries entières (non triviales, au sens où non polynomiales puisque ce cas est déjà traité). Est-ce que le résultat est encore vrai ? A quoi le voit-on ?
En principe ce résultat doit être vrai puisqu'en cours où on nous a expliqué que l'intérêt d'une fonction holomorphe était de s'exprimer algébriquement en fonction de $z$ (j'entends algébriquement au sens où c'est une série entière), ce qui n'est pas le cas avec $\overline{z}$ en toute généralité.
2) J'en suis arrivé par cette question à me demander s'il existe des fonctions (non constantes) $f$ de classe $C^{\infty}$ (sur $\mathbb{C}$ à valeurs dans $\mathbb{C}$) telles que $f(z)=f(\overline{z}), \ \forall z$; sachant que la fonction conjuguée n'est dérivable nulle part.
En particulier j'aimerais caractériser ces fonctions (je n'en trouve pas des non constantes).
Enfin ma question peut se généraliser à $f \circ g$ où $g$ est non dérivable, j'y réfléchirai quand j'aurai déjà mes réponses pour mes autres questions.
Merci d'avance
PS : ne m'en voulez pas si mes questions vous paraissent triviales, comme je 'lai dit, je viens à peine de démarrer ce cours.
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Réponses
Non il n'y en a pas. Tu peux le voir de plusieurs façons, mais si tu débutes juste, essaye les équations de Cauchy-Riemann.
Effectivement on a juste vu les équations de Cauchy-Riemann, donc ça tombe bien. faut juste que je me remette un peu au point sur le calcul différentiel, mais au moins j'ai une bonne piste maintenant, merci encore.
Quelqu'un a une idée sinon pour ma question 1) ?
A plus
Euuuh ??? Indéfiniment dérivable, de $\C$ dans $\C$, what else? Il suffit évidemment de se restreindre à dérivable de $\C$ dans $\C$.
A bientôt