densité de n²+2mPi
Bonjour à tous !
On peut démontrer que $\mathbb{Z} + 2\pi\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$ grâce à la structure de groupe de cet ensemble. Cela permet ensuite de démontrer que les $cos(n)$ sont denses dans [-1;1] par exemple.
Cependant, et dans le but de démontrer que $cos(n^{2})$ est dense dans [-1;1], pouvez-vous m'indiquer des pistes pour prouver que $\mathbb{Z}^{2} + 2\pi\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$ ? Ce n'est plus un groupe, et on ne peut donc plus utiliser le résultat qui dit que les sous groupes additifs de $\mathbb{R}$ sont ou dense dans $\mathbb{R}$, ou monogène.
Merci d'avance de votre aide.
Bonne soirée.
On peut démontrer que $\mathbb{Z} + 2\pi\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$ grâce à la structure de groupe de cet ensemble. Cela permet ensuite de démontrer que les $cos(n)$ sont denses dans [-1;1] par exemple.
Cependant, et dans le but de démontrer que $cos(n^{2})$ est dense dans [-1;1], pouvez-vous m'indiquer des pistes pour prouver que $\mathbb{Z}^{2} + 2\pi\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$ ? Ce n'est plus un groupe, et on ne peut donc plus utiliser le résultat qui dit que les sous groupes additifs de $\mathbb{R}$ sont ou dense dans $\mathbb{R}$, ou monogène.
Merci d'avance de votre aide.
Bonne soirée.
Réponses
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On a évoqué la question il y a peu de temps sur le forum :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,644175,644175#msg-644175 -
Bonjour,
En écrivant $cos(n^2)$ avec les polynômes de Tchebychev..... -
Bonsoir,
Merci beaucoup pour vos réponses. Je connaissais déjà le post mentionné ci-dessus, et je sais qu'il permet de conclure que les $cos(n^{2})$ sont denses dans [-1;1], mais j'aimerais avant tout démontrer mon premier résultat :
$\mathbb{Z}^{2}+2\pi\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$.
Cependant, pour rebondir là-dessus, je ne vois pas comment utiliser les polynômes de Tchebychev pour exprimer cos(n²).
Merci de votre aide en tout cas.
Bonne soirée. -
Dans le document que j'ai posté sur le fil précédent, je démontre l'équirépartition modulo $2\pi$ des $n^2$. C'est un résultat plus fort que la densité.
-
Il est aussi amusant de considérer les sommes:
$$C_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\cos(k^x)$$
lorsque $0<x<1$ et d'étudier les bornes de $\dfrac{C_n(x)}{n^{1-x}}$. -
Bonjour,
Merci de vos réponses, effectivement j'étais perturbé par le fait que le résultat du fil précédent utilisait les parties fractionnaires, donc modulo 1, alors qu'il suffit de multiplier par $2\pi$ le polynôme $\frac{n^{2}}{2\pi}+1$ et d'appliquer le résultat il me semble.
Et effectivement, l'équipartition implique alors la densité.
Merci en tout cas.
Bonne soirée
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Bonjour!
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