équation différentielle "généralisée"

Chalk · February 2011

Bonsoir,

Je me suis posé la question de résoudre des équations fonctionnelles du type :

Trouver toutes les fonctions $f \ C^{\infty},\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que pour tout $x \in \mathbb{R},\ f'(x)=f(2x)$.

Existe-t-il une théorie générale pour traiter ce genre de questions : Plus généralement trouver les solutions à des équations du type $f'(x)=f\big(u(x)\big)$, voire même à des équations encore plus générales.

Ici $u(x)=2x$ est linéaire, cela peut-il simplifier le problème ?
Ce genre d'équations interviennent-elles en physique ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements.
Bonne soirée.

JJ · February 2011

Bonjour,

en fait, il s'agit d'équations mixtes fonctionnelles et différentielles.
A ma connaissance, d'une part, il n'y a pas de méthode générale pour résoudre toutes les sortes d'équations différentielles.
D'autre part, il n'y en a pas non plus pour résoudre toutes les sortes d'équations fonctionnelles.
Je vous laisse conclure lorsque la difficulté est multipliée par le mélange des genres !
Remarque : dans le cas de l'équation f ' (x) = f(2x), les développements respectifs en séries de Taylor permettent de trouver les fonctions infiniment dérivables qui satisfont cette relation (exprimées sous forme de série infinie)
.

Chalk · February 2011

Bonjour,

Merci beaucoup de ta réponse JJ, c'est bien ce que j'appréhendais.

J'ai pensé au développement en séries entières pour traiter ces questions. Cela permet de trouver des solutions DSE, mais il me faudrait une théorie qui me permette de trouver toutes les solutions, ou alors la dimension de l'espace vectoriel des solutions, car quel que soit la fonction u, il me semble bien que l'ensemble des solutions forment un espace vectoriel.

Je réfléchirais à tout cela quand je serais moins pris par tout le travail que j'ai à faire.

Si quelqu'un peut en revanche me dire si de telles équations mixtes interviennent en sciences, je suis intéressé par cela.

Bonne soirée.

équation différentielle "généralisée"

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Bonjour!

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