Équation différentielle
Bonjour,
je cherche a résoudre cet équation différentielle
\begin{equation*}
\text{ \ }y^{\prime }(x)=\left( (a-b)-\frac{ay(x)}{k}\right) y(x)\text{ };\text{ }
y(0)=y_{0}
\end{equation*}
avec $a,b,k $ et $y_{0}$ des constantes positives, je trouve la solution suivante :
$y(x)=-\dfrac{k(a-b)e^{ax+akC}}{e^{bx+bkC}-ae^{ax+akC}}$
avec $C$ constante mais j'arrive pas a la calculer .
Merci de votre aide
je cherche a résoudre cet équation différentielle
\begin{equation*}
\text{ \ }y^{\prime }(x)=\left( (a-b)-\frac{ay(x)}{k}\right) y(x)\text{ };\text{ }
y(0)=y_{0}
\end{equation*}
avec $a,b,k $ et $y_{0}$ des constantes positives, je trouve la solution suivante :
$y(x)=-\dfrac{k(a-b)e^{ax+akC}}{e^{bx+bkC}-ae^{ax+akC}}$
avec $C$ constante mais j'arrive pas a la calculer .
Merci de votre aide
Réponses
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Bonjour,
En multipliant numérateur et dénominateur par \(e^{-(ax+akC)}\), et en notant \(u=b-a\), la solution obtenue se met sous la forme~:
\[y(x)=\frac{ku}{e^{u(x+kC)}-a}\]
et la condition initiale est satisfaite lorsque~: \(\dfrac{ku}{e^{ukC}-a}=y_0\), c'est-à-dire~:
\[C=\frac1{uk}\ln\left(a+\frac{ku}{y_0}\right)=\frac1{u(b-a)}\ln\left(a+\frac{k(b-a)}{y_0}\right).\]
Comme il s'agit d'une équation de Ricatti, le birapport de quatre solutions est constant, donc la solution générale dépend homographiquement d'une constante arbitraire, et il suffit en principe de résoudre une équation du premier degré pour ajuster la solution à une condition initiale. -
bonjour
il s'agit en fait d'une équation différentielle de Bernoulli (au programme de terminale S)
dont les solutions sont des fonctions logistiques fort utilisées en physique et en économie
cordialement -
Il s'agit d'une équa. dif. à variables séparables. Donc aucun problème.
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Bonjour!
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