Surface régulière

Utilisateur anonyme
Utilisateur anonyme
dans Analyse
Bonsoir,

pouvez-vous m'indiquer quelle est la définition d'un surface régulière ? Dans mon cours je trouve seulement la définition de surface de niveau et de surface. Je précise le contexte de ma demande : dans un exo on me demande de montrer que le cône privé de $(0,0,0)$ est une surface régulière et que le cône dans son entier n'est pas une surface régulière.

Merci par avance.

Réponses

  • gb
    gb
    Bonsoir,

    Une surface régulière est une surface qui admet un plan tangent en tout point.
    Je pense que (0,0,0) est le sommet de ton cône (cône de révolution de surcroît), et les plans tangents aux sommets des cônes sont rarissimes.
  • Archimède
    Archimède
    Soit une surface définie implicitement par $f(x,y,z)=0$. Elle est dite régulière en un point $M_0=(x_0,y_0,z_0)$ de la surface si les dérivées partielles de $f$ en ce point ne sont pas toutes nulles. L'équation du plan tangent en $M_0$ s'obtient alors en considérant la partie de degré 1 du développement de Taylor de $f$ en $(x_0,y_0,z_0)$ :
    $$f'_x(M_0)\,(x-x_0)+f'_y(M_0)\,(y-y_0)+f'_z(M_0)\,(z-z_0)=0$$
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    Bonjour, merci pour vos réponses. En fait j'ai l'impression qu'une surface régulière est ce que notre professeur a appelé dans son cours surface de niveau.
  • Rob
    Rob
    Bonjour,

    Soit phi (u,v) = (u^3, v^3, 0) une surface paramétrée, l'image de phi représente le plan xy.
    Mon cours affirme qu'une surface est régulière si phi est infiniment différentiable et si en tout point de R^2 les dérivées partielles sont linéairement indépendantes.
    On remarque que dans ce cas-ci, les dérivées partielles ne sont pas linéairement indépendante en (0, 0).
    Donc phi ne serait pas une surface régulière.

    Un commentaire plus haut affirme que " une surface est régulière si elle admet un plan tangent en chacun de ces points", qui donc mieux qu'un plan pourrait mieux affirmer cette proposition ?

    Je ne comprends pas où est mon erreur...

    Merci de votre réponse
  • callipiger
    callipiger
    Bonjour,
    je m’immisce dans la conversation ,

    @rob
    je pense que c'est une question de définition :
    si il est vrai qu'avoir des dérivées partielles indépendantes implique d'avoir une un plan tangent
    avoir un plan tangent s'implique pas que les dérivées partielles sont indépendantes

    je prends l'exemple de z=x^4+y^4
    surface bien définie où le plan tangent existe en (0,0,0) , et c'est le plan xOy
    cependant les dérivées partielles s'y annulent

    par analogie
    si l'on regarde les courbes, les tangentes existent sans pour autant que les dérivées partielles soient indépendantes
    il s'agit en fait de trouver des dérivées partielles à un ordre suffisamment élevé pour trouver une indépendances des "directions de contact"
  • Poirot
    Poirot
    @Rob : soit $f : \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ surjective discontinue en tout point (ça existe bien). L'image de $(u, v) \mapsto (f(u), f(v))$ est le plan tout entier, pourtant il n'y a absolument aucune régularité au niveau de cette fonction.
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