théorème de Lions Lax Milgram

djamroun · April 2011

Bonjour
Pourriez-vous me dire comment peut-on utiliser le théorème de Lions (celui qui généralise le théorème de Lax Milgram) pour résoudre une EDP d'évolution.
Par exemple l'équation de la chaleur avec condition de Dirichlet homogène.
J'ai trouvé des papiers qui utilisent ce théorème mais je ne suis pas convaincu de leur manière d'y procéder.
Merci d'avance.

C. de Pluquaire · April 2011

Bonne nuit,

Tape lax-milgram sur Google, et tu auras plein d'œufs de Pâques ...

Bien cordialement.

djamroun · April 2011

Je connais bien Lax Milgram je le manipule très bien pour les équations elliptiques dans les Hilbert.
Tu pourras voir ce théorème dans Wikipédia tu tapes sur google Lions–Lax–Milgram theorem et c'est le premier lien

Ce que je veux savoir : Peut-on réellement l'appliquer pour résoudre non pas une EDP elliptique mais pour résoudre une EDP parabolique comme l'exemple le plus simple suivant : $$
\left \{ \begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u=f, & \text{ dans } \Omega \times (0,T), \\
u=0 & \text{ sur } \partial\Omega \times (0,T), \\
u(x,0)=u_0(x) & \text{ dans } \Omega
\end{array}
\right .
$$

C. de Pluquaire · April 2011

Bonsoir,

Je ne suis pas du tout connaisseur dans le domaine des équations d'évolution, mais il me semble que L.-M. continue de servir. Le problème est que je ne sais pas comment. Si tu disposes d'une BU, tu pourrais voir les livres de J.-L. Lions, de Lions et Dautray, etc.
Tu as des des cours d'A.N. des EDP sur Google dont certains sont très bien faits (et gratuits), mais je n'ai pas de nom en tête.

Bien cordialement.

remarque · April 2011

Pour résoudre les équations d'évolution linéaire, Lions procédait souvent par la méthode de Galerkin, ce me semble : on considère une suite d'approximations en dimension finie, où l'on a affaire à des problèmes de Cauchy pour des EDO linéaires, et les diverses conditions de coercivité servent à établir les estimations qui permettent de passer à la limite quand la dimension tend vers l'infini. Il n'y a pas d'utilisation directe de Lax-Milgram dans ce contexte-là. Si on fait en même temps une discrétisation en temps (mais je ne vois pas trop l'intérêt, mais pourquoi pas), alors on pourra éventuellement avoir recours à Lax-Milgram ou des variantes, par exemple si on prend une méthode implicite...

C. de Pluquaire · April 2011

Bonne nuit,

Je reste coi sur la question. Une seule chose m'a toujours intrigué, c'est de considérer des régularisations paraboliques ou hyperboliques ! Régulariser en compliquant ? Mystère !

Bien cordialement.

théorème de Lions Lax Milgram

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