pendule mathématique

pluton
pluton
dans Analyse
bonjour,

pour le pendule mathématique simple, le "véritable" espace des phases est un cylindre $S^1\times R$ en position-vitesse. Existe-t-il des systèmes pour lesquels l'espace des phases est aussi un cylindre mais en vitesse-position ? Est-ce que ça a un intérêt mathématique d'ailleurs ?

Réponses

  • remarque
    remarque
    La vitesse doit être dans le fibré tangent de la variété des positions. Je ne vois pas trop $\R\times S^1$ de cette forme...
  • Eric Chopin
    Eric Chopin
    je ne vois pas trop le pourquoi du $S^1$ de départ... si c'est juste parce
    que le mouvement est périodique alors la vitesse aussi...
    Il ne faut pas confondre la trajectoire suivie par le système comme déterminant
    l'extension de l'espace des phases ...

    eric
  • pluton
    pluton
    le $S^1$ du départ, ça n'est pas parce que le mouvement est périodique (on ne le sait pas avant de résoudre) mais jusque parce que, dans le plan, la position $(x,y)$ de la masse en extrémité du pendule (rigide) vérifie $\sqrt{x^2+y^2}=\ell$ et donc se balade sur un cercle de rayon $\ell$. Ensuite, il y a une trajectoire sur ce cercle (donc une trajectoire dans l'espace des phase cylindrique) [quand on y ajoute la vitesse qui est dans le fibré tangent à ce cercle :)]
  • pluton
    pluton
    @remarque: tu le vois comment $R\times S^1$ ?
  • Eric Chopin
    Eric Chopin
    ok j'avais pas compris que tu forcais ton pendule a vivre sur un cercle.
    Comme dis remarque, vu la definition d'un fibré tangent j'ai aussi un peu de mal
    a voir $S^1$ comme pouvant faire office d'espace tangent...

    eric
  • remarque
    remarque
    pluton a écrit:
    @remarque: tu le vois comment $R\times S^1$ ?

    Ce n'est pas un fibré vectoriel. Si on admettait que ce puisse être l'espace des phases d'un système cinématique, ça voudrait dire qu'on a un point qui peut se balader sur $\R$, mais sa vitesse n'est pas dans $\R$ ! En fait, je ne vois pas trop comment cela pourrait-être possible.
  • afk
    afk
    $TS^1 = S^1 \times \R$ looks good to me.
  • remarque
    remarque
    Moi aussi, mais justement on fait l'inverse. Enfin l'opposé. Enfin dans l'autre sens, quoi.
  • pluton
    pluton
    en gros, en terme d'équations,

    1 - pour le pendule simple on a : $\ddot{\theta}+\sin\theta=0$
    2 - pour le système imaginaire, je ne sais pas ce que l'on aurait. Peut-être quelque chose comme $\ddot{\theta}+\theta=0$ avec une contrainte sur $\dot{\theta}$ qui doit vivre sur un cercle. C'est bizarrrre, en effet
  • pluton
    pluton
    on se plie en quatre.
  • afk
    afk
    remarque écrivait:
    > Moi aussi, mais justement on fait l'inverse. Enfin
    > l'opposé. Enfin dans l'autre sens, quoi.

    my bad.
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