Décomposition de Helmholtz-Hodge.
Bonjour,
Alors voilà mon petit problème...
Je cherche de la documentation sur le théorème de décomposition de Helmholtz-Hodge. Le seul problème est que... Soit je le trouve dans un aspect purement mathématique ( et donc assez compliqué dans ce que je veux présenter ), soit trop physique ( et donc pas forcément adapté non-plus...).
Bref, ce qu'il se passe,
J'ai obtenu l'équation d'Euler sur la vitesse : $\partial_t \overrightarrow{U} + (\overrightarrow{U}.\nabla)\overrightarrow{U} + \nabla P=\overrightarrow{0}$
Puis, en appliquant le rotationnel, j'obtiens l'équation sur le vortex.
Toutefois, c'est juste une implication. Je voulais citer le théorème de décomposition de Helmhotlz-Hodge ( du moins, je crois que c'est une bonne façon de le faire... ) afin de "remonter". Donc de pouvoir dire que mon champ de vitesse U est entièrement défini par la donnée de son rotationnel et de sa divergence...
Suis-je sur la bonne piste ? Ou puis-je trouver ce genre de résultat ?
Merci par avance.
Jérémy
Alors voilà mon petit problème...
Je cherche de la documentation sur le théorème de décomposition de Helmholtz-Hodge. Le seul problème est que... Soit je le trouve dans un aspect purement mathématique ( et donc assez compliqué dans ce que je veux présenter ), soit trop physique ( et donc pas forcément adapté non-plus...).
Bref, ce qu'il se passe,
J'ai obtenu l'équation d'Euler sur la vitesse : $\partial_t \overrightarrow{U} + (\overrightarrow{U}.\nabla)\overrightarrow{U} + \nabla P=\overrightarrow{0}$
Puis, en appliquant le rotationnel, j'obtiens l'équation sur le vortex.
Toutefois, c'est juste une implication. Je voulais citer le théorème de décomposition de Helmhotlz-Hodge ( du moins, je crois que c'est une bonne façon de le faire... ) afin de "remonter". Donc de pouvoir dire que mon champ de vitesse U est entièrement défini par la donnée de son rotationnel et de sa divergence...
Suis-je sur la bonne piste ? Ou puis-je trouver ce genre de résultat ?
Merci par avance.
Jérémy
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Réponses
Tu trouveras un point de vue à la fois mathématique et physique dans J-L. Lions et R. Dautray Analyse mathématique et calcul numérique, Masson éd., dans le chapitre conscré aux équations de Maxwell, je crois.
Pour faire quelque chose de propre, il te faut des espace complets, ce qui complique un peu par rapport à la vision Wiki des choses.
Il y a des choses récentes avec les ondelettes, aussi.
Bien cordialement.
Tu trouveras les décompositions en question dans le tome 5, vers la page 240. Il n'est question que de Hodge, et plus de Helmholz ...
Par ailleurs, T. Vogel attribue ce type de résultat à Clebsh.
Dans Lions-Dautray, il faudrait chercher dans les chapitre "plus numériques" si la décomposition est traitée, je ne le sais pas.
Bien sûr, il faudrait voir ce qu'il y a sur les équations de Navier-Stokes.
Bon courage.
Bien cordialement.