Distribution tempérée

Qui est vp ?

Oui m'enfin ça ne t'emmènera pas forcément très loin vu que c'est vrai pour toute distribution. Pourquoi ne pas revenir à la définition ?

Ou bien utiliser le fait que $\mathrm{vp} \, \frac{1}{x}$ est la dérivée d'une certaine fonction $L^1_{\mathrm{loc}}$, dont il n'est pas trop difficile de montrer qu'elle définit une distribution tempérée.

1) En LaTeX il faut encadrer {\bf toute} l'expression mathématique entre dollars, pas chaque commande individuellement : on écrit \verb|$a=b$| et pas \verb|$a$=$b$|, pour obtenir $a=b$.
2) Les dollars doivent toujours aller par paires : ton \verb+$\vp(1/x)$=\{ln|x|\}'$+ pose problème.
3) Les commandes mathématiques telles que \verb|\Rightarrow| s'utilisent entre dollars, donc ton \verb|($T$ distribution tempérée)\Rightarrow($T'$ tempérée)| pose problème.

Pour en revenir au problème, tu ne connais aucun critère qui permette de voir si une fonction $L^1_{\mathrm{loc}}$ définit une distribution tempérée ? tu as entendu parler de "croissance lente" ? Sinon, tu peux essayer de démontrer par exemple que si $u \in L^1_{\mathrm{loc}}$ vérifie $|u(x)| \leq A+B|x|^p$ pour presque tout $x$ tel que $|x| > C$, avec $A,B,C>0$ et $p \in \R$, alors (la distribution associée à) $u$ est tempérée.

Je t'en prie. Si tu n'arrives pas à avancer n'hésite pas à le dire.

Oui. Essayes de continuer dans cette voie.

Juste un truc (pour qu'on soit bien d'accord) : qu'est-ce que tu essayes de montrer "à la fin" ?

fanf a écrit:

Je veux montrer qu'il existe $M>0$ et $(a,b)\in\N^2$ tels que pour tout $\phi$ on ait $|<u,\phi>|\le M.N_{a,b}(\phi)$ où $N_{a,b}=\sup_{\substack{\R}}|x^a\phi^{(b)}(x)|$ ?

C'est ce qui est dans ton cours ? Au second membre de l'inégalité, j'aurais bien mis $M \sup_{\alpha \leq a, \beta \leq b} N_{\alpha,\beta}(\phi)$, ou ce qui revient au même : $M \sum_{\alpha \leq a, \beta \leq b} N_{\alpha,\beta}(\phi)$.. parce qu'en l'état je pense que ça va être difficile.

Pour continuer, bah, c'est assez simple : tu utilises le fait que $|x|^q |\phi(x)|$ est borné pour tout $q$, en prenant un $q$ assez grand pour maîtriser ce qui se passe à l'infini.

Mais pourtant, il suffit de l'écrire ! Je prends un $q$ quelconque pour l'instant : on a $|x^q \phi(x)| \leq N_{q,0}(\phi)$ pour tout $x$ donc, pour la partie "droite" de l'intégrale : $$\int_{[C,+\infty[} (A+B|x|^p) |\phi(x)| \, dx = \int_{[C,+\infty[} \frac{A+B|x|^p}{|x|^q} |x^q \phi(x)| \, dx \leq N_{q,0}(\phi) \int_{[C,+\infty[} \frac{A+B|x|^p}{|x|^q} \, dx$$ A quelle condition la dernière intégrale est-elle finie ?