fonctions localement intégrables
Bonjour, je n'arrive pas à trouver dans mes livres une justification rigoureuse de :
"la fonction f qui à x associe Log(|x|) pour x non nul est localement intégrable sur R"
Est-ce que dire que : "quand x tend vers 0, on a x1/2Log(|x|) qui tend vers 0" suffit à conclure ?
puisque dans ce cas, on f(x)=o(x-1/2)
et que x-1/2 est intégrable au voisinage de 0
Je ne sais pas si mon raisonnement est bon.
Merci d'avance
"la fonction f qui à x associe Log(|x|) pour x non nul est localement intégrable sur R"
Est-ce que dire que : "quand x tend vers 0, on a x1/2Log(|x|) qui tend vers 0" suffit à conclure ?
puisque dans ce cas, on f(x)=o(x-1/2)
et que x-1/2 est intégrable au voisinage de 0
Je ne sais pas si mon raisonnement est bon.
Merci d'avance
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Réponses
si tu veux utiliser une racine carrée pour $x<0$, une valeur absolue pourrait aider.
Si tu veux invoquer un théorème de comparaison, il faut préciser que les fonctions ont même signe.
Cordialement
la fonction f de variable réelle définie par f(x) = ln|x| est telle que (avec k et h constantes réelles)
pour x > 0, f(x) = ln(x) qui admet pour primitive x.lnx - x + k
pour x < 0, f(x) = ln(-x) qui admet pour primitive x.ln(-x) - x + h
dans les deux expressions lorsque x tend vers zéro
la primitive (définie à une constante additive près) est parfaitement définie et continue
tu n'as pas besoin de passer par la fonction racine carrée pour dire que f est intégrable sur R
même si c'est vrai la fonction f n'est pas définie pour x = 0
cordialement
Mais c'est la même aire que celle comprise entre l'axe des abscisses et la courbe de exp pour les abscisses négatives, qui est (par sigma additivité) sup de $\int _t^0 exp(x)dx$ quand $t\to -\infty $ or $\int _t^0 exp(x)dx = exp(0)-exp(t)$ est majorée par 1, quand $0>t$
Enfin, j'ai peut-être dit n'importe quoi, menfin, si ça t'inspire...