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Définition d'un point d'inflexion ?

Envoyé par CQFD 
Définition d'un point d'inflexion ?
il y a sept années
avatar
Bonjour à tous,

Je m'interroge sur la définition d'un point d'inflexion.
Les deux définitions généralement rencontrées sont :

Df 1 : la courbe de $f$ admet un point d'inflexion en $a$ si $f$ change de convexité en $a$

Df 2 : la courbe de $f$ admet un point d'inflexion en $a$ si sa courbe traverse sa tangente en $a$.

On rencontre parfois une troisième définition qui est :
Df 3 : la courbe de $f$ admet un point d'inflexion en $a$ si $f''$ s'annule et change de signe en $a$

Or, les deux premières définitions ne sont pas équivalentes.
Il est clair que si $f$ change de convexité en $a$, alors $\mathcal{C}_{f}$ traverse sa tangente au point d'abscisse $a$.
La réciproque est fausse, un contre-exemple étant donné par $f(x)=x^{5}\left(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)+2\right)$ (sa courbe traverse sa tangente en $0$)

Si on prend la définition 2, alors on les propriétés suivantes :
Pr 1 : si $f'$ a un extremum en $a$, alors $f$ a un point d'inflexion en $a$
Pr 2 : si $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ a un point d'inflexion en $a$
La réciproque de chacune de ces propriétés est fausse, la fonction précédente donnant un contre-exemple ($f$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}$, mais $f'$ n'admet pas d'extremum en $0$ et $f''$ s'annule en $0$ sans changer de signe).

Si on prend la définition 1, la réciproque des propriétés précédentes est (ou du moins semble) vraie.

Bref, ma question est : quelle est LA définition d'un point d'inflexion ?

Merci d'avance pour vos réponses.
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a sept années
avatar
Bonjour CQFD.

En prépa, j'ai appris qu'un point $M(t_0)$ d'un arc paramétré $(I,\vec f)$ suffisamment régulier est point d'inflexion si ce point n'est pas stationnaire $(\overrightarrow V_1 \neq \overrightarrow 0)$ et si le système $\{\overrightarrow V_1,\overrightarrow V_2\}$ est lié.

On remarque que dans le cas d'une courbe définie par $M\big(x,f(x)\big)$ le point courant n'est jamais stationnaire car la première composante de $\overrightarrow V_1$ vaut $1$ et que tous les vecteurs dérivés suivants sont colinéaires au premier vecteur du repère. Il s'ensuit que le point est d'inflexion, à ce sens là, si, et seulement si, le vecteur $\overrightarrow V_2$ est nul ; donc ssi $f''(x) = 0$.

Ceci dit, la courbe ne traverse pas nécessairement la tangente, par exemple si $f''(x_0) = f'''(x_0) = 0$ et $f^{(4)}(x_0) \neq 0$ ; ton contre-exemple le montre et elle ne change pas non plus nécessairement de concavité. Par contre, ces deux conditions sont suffisantes pour que le point soit d'inflexion car elles entraînent toutes deux la nullité de la dérivée seconde en ce point.

Bruno
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a sept années
avatar
Bruno, merci pour ta réponse.
A te lire, j'ai l'impression que les définitions que l'on trouve dans les livres sont fausses ou plutôt qu'elles sont différentes d'il y a quelques années.
J'ai l'impression de m'y perdre un peu plus.
S'agit-il de faire le choix d'une définition puis d'être cohérent dans les propriétés suivantes ?
Si tel est le cas, je trouve cela dommage que l'on n'y ait pas de définition "officielle".

(Sinon, dans l'exemple que j'ai donné, la courbe traverse sa tangente.)

"[...] j'aime [...] les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion." - Stendhal
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a sept années
avatar
Je pense que l'on peut procéder comme au temps de ma (folle) jeunesse :D : on énonce : \og\ la courbe traverse sa tangente ; on appelle ce type de points un point d'inflexion ! \fg. Ainsi on a donné un nom au phénomène et laissé dans l'ombre la définition générale du point d'inflexion.

Rétrospectivement, j'ai l'impression que les (bons) professeurs que j'ai eu au lycée savaient éluder des difficultés \og\ pédagogiques \fg\ en passant sous silence les complexités inutiles.

Bruno
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a sept années
Rajwade et Bhandari (Surprises and counterexamples in real function theory, Hindustan Book Agency, 2007, pages 126 à 133) donnent les trois définitions sans trancher mais en étudiant les différentes implications entre les définitions et des contre-exemples.

Ils notent cependant que si la fonction est analytique dans un intervalle, alors les trois définitions pour un point d'inflexion en un point de cet intervalle coïncident.

Rajwade et Bhandari renvoient aux deux articles suivants
[attachment 20565 inflexion_1.pdf]
[attachment 20566 inflexion_2.pdf]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept années et a été effectuée par Eric.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - inflexion_1.pdf (380.9 KB)
ouvrir | télécharger - inflexion_2.pdf (329.4 KB)
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a sept années
bonjour

j'avoue ne pas bien comprendre ta préoccupation:

la définition la plus simple d'un point d'inflexion situé sur une courbe est la troisième,
les deux premières étant en fait des conséquences graphiques des cette définition analytique

quant au contre-exemple que tu exhibes: es-tu sûr que la dérivée seconde ne change pas de signe en 0?
on en serait sûr s'il s'agissait d'une fonction paire or ce n'est nullement le cas
fabriquer des contre-exemples à partir de fonctions tordues n'est pas une bonne méthode

cordialement
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a sept années
avatar
Merci à tous pour vos explications et références.
Il semble que les deux (premières) définitions soient admises dans la littérature; il suffit ensuite d'avoir les bonnes implications.
Je suis tout de même surpris qu'il n'y ait pas de définition "officielle" (si je puis dire).
Cela semble être la première fois que je suis face à un tel cas.

Jean, je ne trouve pas "ma" fonction tordue. Comment devrait-on qualifier une fonction continue nulle part dérivable dans ce cas ?
De plus, je ne vois pas en quoi exhiber un contre-exemple - même si celui-ci est "tordu" - n'est pas une bonne méthode ?

Sinon, oui, je suis sûr que la dérivée seconde ne change pas de signe en $0$.
Pour tout $x\in\R^{*}$, on a :
\begin{center}
$f'(x)=5x^{4}\left(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)+2\right)-x^{3}\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)$
\end{center}
et
\begin{center}
$f''(x)=20x^{3}\left(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)+2\right)-8x^{2}\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)-x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
\end{center}
On voit facilement que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\R$.
$f''$ s'annule en $0$ mais ne change pas de signe en ce point.
En effet, pour tout $k\in\Z^{*}$, on a :
\begin{center}
$f''\left(\dfrac{1}{k\pi}\right)=\dfrac{40}{k^{3}\pi^{3}}+(-1)^{k+1}\dfrac{8}{k^{2}\pi^{2}}\sim(-1)^{k+1}\dfrac{8}{k^{2}\pi^{2}}$
\end{center}
de sorte que, pour $k$ suffisamment grand, $f''\left(\dfrac{1}{k\pi}\right)$ est du signe de $(-1)^{k+1}$. On en déduit que $f''$ change une infinité de fois de signe sur tout intervalle ouvert contenant $0$.
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a sept années
avatar
J'avoue préférer comme définition "le point où la courbe traverse sa tangente"
Mais, par souci pédagogique, je vais en rester à "le point où la courbe change de convexité" pour mes étudiants.
Cependant, je scinderai, pour moi, la section sur les points d'inflexion en deux parties avec les deux définitions distinctes.

"[...] j'aime [...] les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion." - Stendhal
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a sept années
Une fois qu'on est lancé, pourquoi s'arrêter à la dérivée seconde ? Il y a aussi une interprétation géométrique de la dérivée troisième (la déviation, aberrancy en anglais).
[attachment 20580 Aberrancy.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Aberrancy.pdf (1.51 MB)
adamawalae
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a cinq années
Le changement de concavité n'est pas suffisant car on peut avoir la teng a dr#la teng a g [tangente à droite différente de la tangente à gauche]

[N'est-il pas préférable d'écrire quelques caractères de plus pour bien se faire comprendre ? AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par AD.
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a cinq années
Tout comme Bruno, je pencherais par une définition dans le cadre des courbes paramétrées.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par fefe45.
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a cinq années
fefe45 écrivait :
-------------------------------------------------------
> ..., je pencherai par ...

é pericoloso sporgersi

:)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par AD.
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a cinq années
J'ai quelques soucis avec l'orthographe.
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a cinq années
Tes définitions mettent en défaut la plupart des théorèmes de géométrie qui concernent les points d'inflexions, il vaut mieux prendre celle de Bruno. Par exemple, avec tes définitions les formules de Plücker sont fausses, une quartique ne possède plus forcément 24 points d'inflexion etc. C'est un peu comme dire une racine d'un polynôme c'est un point où le polynôme s'annule et change de signe. Ça serait un peu difficile de prendre une définition pareille !

Je pense que pour n'importe quel géomètre depuis deux siècles, la courbe d'équation $y=x^4$ possède un point d'inflexion en l'origine. Ce point est de multiplicité 2 et par une perturbation se transforme en 2 points d'inflexion simples. Donc ce que tu veux c'est peut-être la notion de point d'inflexion non dégénéré.

La définition communément admise est : un point est un point d'inflexion si c'est un point régulier et si la multiplicité d'intersection avec sa tangente au point donné est au moins égale à 3. Cette définition est valable en caractéristique quelconque. Pour des raisons pédagogiques on peut être amené (surtout au Lycée) de prendre des définitions plus restrictives, mais quand on connaît plus de choses, il vaut mieux les oublier.

M.
guindou_hatem
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a trois années
la courbe de f traverse la tangente en un point
est ce que la fonction doit étre dérivable en ce point
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a trois années
Bonjour.

S'il y a une tangente, alors ...
Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a trois années
avatar
On peut cependant fabriquer un contre-exemple en collant des morceaux:


Re: Définition d'un point d'inflexion ?
il y a trois années
Effectivement.

Aussi avec $x\mapsto \sqrt{|x|}$. J'ai été un peu rapide.

Cordialement.
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