racines carrées imbriquées

kakashi-ms · August 2011

Bonjour tout le monde,

Je bloque sur l'exercice suivant:

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante:

$\sqrt{4+\sqrt{4-\sqrt{4+\sqrt{4-x}}}}=x$ avec l'indication suivante: poser une fonction $f$ tel que $f(f(x))=x$

Je pose $f(x)=\sqrt{4+\sqrt{4-x}}$ mais je n'arrive pas à conclure. J'ai fixé les conditions d'existence de $x$: il faut que $x\in [0,4]$, j'ai montré que $f$ est bijective mais je ne vois pas où ça me mène!!

Si vous pouvez me donner plus d'indications ça sera le bienvenue.

Merci et @+

jeroM · August 2011

Bonjour,
on pose :
$f(x)=\sqrt{4+\sqrt{4-x}}$
Dans ce cas :
$f(x)=x$ est équivalente à $x^4-8x^2+x+12=0$ (à vérifier)

pas sûr que ce soit utile...

GuillaumePoly · August 2011

Bonjour,

jeroM a écrit:

$ f(x)=x$ est équivalente à $ x^4-8x^2+x+12=0$ (à vérifier)

Pas exactement ; si l'équation admet une (ou plusieurs) solution réelle (nécessairement plus petite que 4), alors elle vérifie $ x^4-8x^2+x+12=0$. On n'a pas d'équivalence.

En l’occurrence, seul $\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$ convient.

kakashi-ms · August 2011

Mais comment passer du fait que $f(f(x))=x$ à $f(x)=x$ ?

jeroM · August 2011

Re,
Si $a$ est une solution de $f(x)=x$ , alors on a $f(f(a))=f(a)=a$ , non ?

kakashi-ms · August 2011

Ah, je vois le tour, c'est bien pensé

GuillaumePoly · August 2011

Et puis on peut deviner que $x^4-8x^2+x+12=(x^2-x-3)(x^2+x-4)$.

kakashi-ms · August 2011

@GuillaumePoly: comment on peut le deviner =P

racines carrées imbriquées

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