distance sur R

fanf
fanf
dans Analyse
Bonjour.
On se donne la distance sur $\R$ donnée par $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$ où $f$ est la fonction définie par $f(x)=x+1$ si $x\ge 0$ et $f(x)=x$ si $x<0$.
On demande l'adhérence de $]-1;0[$.
Je pense que c'est $]-1;0[$ lui même.
Pour info dans l'exo on demande de déterminer les boules de centre 0 et de rayon $r$ (distinguer les cas $r$ plus grand ou plus petit (ou égal) que 1. On a donc toutes les boules par translations.
Merci de me confirmer ou infirmer si vous avez le courage de regarder !

Réponses

  • JLT
    JLT
    L'idée de cet espace topologique est de casser $\R$ en deux morceaux $]-\infty,0[$ et $[0,+\infty[$ donc l'adhérence de $]-1,0[$ devrait être $[-1,0[$.
  • egoroffski
    egoroffski
    Salut,

    1) Je dirais plutôt $[-1,0[$ pour l'adhérence.

    2) Je ne comprends pas le "on a toutes les boules par translation" ; la distance $d$ ainsi définie n'est justement pas invariante par translation ($d(0,1)=1 \neq 2 = d(-1,0)$).
  • fanf
    fanf
    Merci pour vos réponses.
    Ok donc on n'a pas $B(x,r)=x+B(0,r)$.
    Je comprends l'argument intuitif de JLT, mais comment montrer ceci ? Je n'arrive pas à décrire les boules $B(x,r)$ de façon satisfaisante pour les utiliser afin de déterminer l'adhérence de $]-1,0[$.
    Merci.
  • JLT
    JLT
    Si $x=-1$ et $r<1$, montrer que $B(x,r)=]x-r,x+r[$.

    Si $x=0$ et $r<1$, montrer que $B(x,r)=[0,r[$.
  • fanf
    fanf
    Ok pour la première, mais pour la deuxième, j'obtiens $]-r;0[$ comme ça :
    $B(0,r)=\{y\in\R : |f(y)|<r\}$. Mais les $y$ positifs ne conviennent pas : on obtient $y+1<r<1$. Avec les $y$ négatifs j'obtiens $-y<r$ d'où ce que j'annonce. Où est la faute ??
    Sinon qu'est ce que j'en fais ensuite : pour l'adhérence a priori il faut que j'intersecte l'intervalle $]-1;0[$ avec toutes les boules possibles ?
  • JLT
    JLT
    Attention, $f(0)=1$ donc $B(0,r)=\{y\in\R\vert\; |f(y)-1|<r\}$.
  • fanf
    fanf
    ah oui merci !
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