distance topologiquement équivalente
Bonjour!
Je voudrais montrer que la distance usuelle sur $\R$ est topologiquement équivalente à la distance $d$ définie par $d(x,y)=|\phi(x)-\phi(y)|$ où $\phi(x)=\frac{x}{1+|x|}$.
Pour ce faire, j'aimerais utiliser le fait que deux distances sont topologiquement équivalente ssi ($(x_n)$ converge vers $x\in\R$ pour la distance usuelle ssi $(x_n)$ converge vers $x\in\R$ pour la distance $d$).
Mais je n'arrive pas à trouver les majorations/minorations qui conviennent.
Merci pour votre aide.
Je voudrais montrer que la distance usuelle sur $\R$ est topologiquement équivalente à la distance $d$ définie par $d(x,y)=|\phi(x)-\phi(y)|$ où $\phi(x)=\frac{x}{1+|x|}$.
Pour ce faire, j'aimerais utiliser le fait que deux distances sont topologiquement équivalente ssi ($(x_n)$ converge vers $x\in\R$ pour la distance usuelle ssi $(x_n)$ converge vers $x\in\R$ pour la distance $d$).
Mais je n'arrive pas à trouver les majorations/minorations qui conviennent.
Merci pour votre aide.
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Réponses
Tu peux commencer par montrer que $\phi$ est injective et continue ?
Mais pour l'autre sens ?
Je ne vois pas comment montrer proprement le dernier fait...
Merci pour votre aide.