distance topologiquement équivalente
Bonjour!
Je voudrais montrer que la distance usuelle sur $\R$ est topologiquement équivalente à la distance $d$ définie par $d(x,y)=|\phi(x)-\phi(y)|$ où $\phi(x)=\frac{x}{1+|x|}$.
Pour ce faire, j'aimerais utiliser le fait que deux distances sont topologiquement équivalente ssi ($(x_n)$ converge vers $x\in\R$ pour la distance usuelle ssi $(x_n)$ converge vers $x\in\R$ pour la distance $d$).
Mais je n'arrive pas à trouver les majorations/minorations qui conviennent.
Merci pour votre aide.
Je voudrais montrer que la distance usuelle sur $\R$ est topologiquement équivalente à la distance $d$ définie par $d(x,y)=|\phi(x)-\phi(y)|$ où $\phi(x)=\frac{x}{1+|x|}$.
Pour ce faire, j'aimerais utiliser le fait que deux distances sont topologiquement équivalente ssi ($(x_n)$ converge vers $x\in\R$ pour la distance usuelle ssi $(x_n)$ converge vers $x\in\R$ pour la distance $d$).
Mais je n'arrive pas à trouver les majorations/minorations qui conviennent.
Merci pour votre aide.
Réponses
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Salut,
Tu peux commencer par montrer que $\phi$ est injective et continue ? -
Oui ça c'est ok. Mais alors comment continuer ?
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Ah oui : si $x_n\to x$ pour la distance usuelle alors on applique $\phi$ continue et on a $x_n\to x$ pour la distance $d$.
Mais pour l'autre sens ? -
$\phi$ est continue et ...
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On a l'injectivité mais je ne vois pas comment conclure. Si $\phi(x_n)\to\phi(x)$ et $\phi$ injective alors $x_n\to x$ ??
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Ben, si $y=\phi(x)$, c'est peut-être pas complètement interdit d'écrire $x=\phi^{-1}(y)$...
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Nan mais je comprends pas là, vous me dites que $\phi$ est un homéomorphisme ?
Je ne vois pas comment montrer proprement le dernier fait... -
Bah, une application continue de $\R$ dans $\R$, strictement croissante...
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$\phi$ est même uniformément continue il me semble.
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Par ailleurs, en insistant un petit peu, on doit pouvoir calculer explicitement $\phi^{-1}$.
-
Oui je l'ai fait.
Merci pour votre aide.
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Bonjour!
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