Espace complet et espace vectoriel

Pour 4), ça marche avec $\Q$ espace vectoriel sur lui-même ?

Sous-entendu : un sev de dimension fini d'un evn est un fermé de l'evn.

Rappel : tout espace topologique est fermé. Dire qu'un espace topologique est fermé est donc creux. Dire qu'un sous-ensemble d'un espace topologique est fermé dans cet espace topologique est par contre non creux (vu que ce n'est pas toujours vrai).

Pour répondre précisément à ta première question, c'est banal de trouver des répétitions dans un document, c'est tout, il n'y a rien de plus derrière.

Le passage suivant de girdav est celui auquel tu semblais penser:

En fait, si on se donne $(E,\lVert \cdot \rVert)$ un e.v.n. et $F$ un sous-espace de $E$ de dimension finie alors $F$ muni de la norme induite est un espace vectoriel normé de dimension finie, donc complet par 4) donc fermé pour la norme.

Et bien ce passage n'interdit pas de répéter un corollaire dans une liste d'affirmations.

Sinon, effectivement, il est sous-entendu dans ce genre de document que le corps est $\R$ ou $\C$ (et souvent $\R$ ).

La complétude d'un ev de dimension finie vient de la chose suivante: si $u$ est une suite de Cauchy dans $\R^n$, alors les $n$ suites formées par les projections sur chaque coordonnée sont elles-même de Cauchy, donc convergent sur leur droite respectives et donc $u$ converge.

Dans un espace normée, si un point $p$ est dans l'adhérence d'un ensemble $A$ alors il existe une suite de Cauchy d'éléments de $A$ qui converge vers $p$. Il s'ensuit que dans la situation particulière où $A$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie, donc complet, la suite en question a une limite dans A et cette limite qui n'est autre que $p$ fait que $p\in A$.

Et si le corps de base n'est pas complet, ce n'est plus vrai. Exemple, $\Q$ est un $\Q$-sous espace vectoriel topologique de dimension 1 du $\Q$ espace vectoriel $\R$, tout le monde ayant sa topologie usuelle, mais il n'est pas fermé dans $\R$.

Edit : le fait que $\R$ soit de dimension infinie sur $\Q$ ne jouant bien sûr aucun rôle. On a le même résultat avec $\Q$ sev de $\Q(\sqrt2)$, qui est de dimension 2.

Comme l'a dit remarque, le corps de base est important. S'il n'est pas complet ( au sens de possède la propriété de la bonne supérieure ), on perd le théorème de Bolzano-Weierstrass et du coup, on perd l'équivalence des normes en dimension finie.

Travaille d'abord avec la norme infinie ou la norme 2 par exemple. Et ensuite, utilise l'équivalence des normes.
Parce qu'en fait, tu te sers du théorème de Bolzano-Weierstrass qui se prouve en dimension n avec la norme infinie ou la norme 2 ou encore la norme 1. Bref avec une norme explicite qu'on connaît bien. Ensuite, ta convergence sera vraie pour ta norme N par équivalence des normes.

( Ou alors, tu peux conserver ta démo si tu fais un retour en arrière sur le théorème de Bolzano-Weierstrass après le théorème d'équivalence des normes en dimension finie, mais je trouve ça lourd. )

Le théorème de Bolzano-Weierstrass en dimension n, que tu utilises, est énoncé habituellement avec l'espace vectoriel R^n associé à la norme infinie ( ou un R-espace vectoriel de dimension n avec une base donnée). Toi, tu utilises une version avec une norme quelconque en dimension n. C'est pas faux. Mais ça suppose que tu reviennes sur le théorème de Bolzano-Weierstrass "originel" après avoir eu connaissance du théorème de l'équivalence des normes en dimension finie.
Si tu as une version de Bolzano-Weierstrass sur un R-espace vectoriel de dimension finie avec une norme N quelconque, alors oui, tu peux conserver ta démo.