Fonctions continues sur [0,1]
Réponses
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A quelle condition un espace vectoriel normé est-il compact ?
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Il voulait d'ailleurs peut-être demander "localement compact" ce à quoi ta suggestion lui donne aussi une réponse.
Sans background, fanf, il va paraitre assez difficile de trouver un sous-recouvrement fini de $f\mapsto \{g\mid 1>Norme(f-g) \}$, tu ne crois pas ?
Par contre, pour "localement compact", c'est moins évident sans background de l'infirmer. En copiant-collant Riesz, il n'y a pas d'ensemble fini F tel que toute f telle que $N(f)\leq 1$ est telle que $\exists g\in F: N(f-g)\leq 0,5$, mais étant donné un ensemble fini F c'est pas très facile de voir comment exhiber une f qui "échappe" (non, non, je n'ai pas attrapé le virus du désir de concrétude )Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour Christophe.
Il me semble qu'un evn peut-être compact. J'en ai un à la maison d'ailleurs.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Bonsoir,
On se croirait au cirque ! Le questionneur y perd le peu de latin qui lui reste. -
Je n'ai rien compris. Merci de vous être fait plaisir, mais là je ne suis pas très avancé.
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Bonsoir,
Je pense que ce que voulait dire JLT, c'est qu'en général un espace vectoriel normé c'est gros, donc que ça a peu de chance d'être borné (sauf cas très particulier) donc peu de chance d'être compact... -
Bon, voilà la réponse complète :
1) Un espace vectoriel normé est compact si et seulement s'il est nul. En effet, dans le cas contraire, c'est un espace métrique non borné.
2) Un espace vectoriel normé est localement compact si et seulement s'il est de dimension finie. C'est un théorème dû à Riesz. En d'autres termes la boule fermée unité est compacte si et seulement si l'espace est de dimension finie.
Ici, $C([0,1])$ muni de n'importe quelle norme est un espace vectoriel normé de dimension infinie, donc il est non compact, ni même localement compact d'après ce qui précède. -
Sais pas mais j'ai pris latin aux ENS.
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Pour le latin, j'ai pris option cuisine. Je vous laisse parce que ça brûle.
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Merci ! Un evn n'est en effet pas borné! Jamais...
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Sauf un, fanf, celui que j'ai à la maison !
e.v.
Quelqu'un a un extincteur ?Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
dada ou Breton?A demon wind propelled me east of the sun
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Bonjour Gilles,
Pas dada, plutôt baudet,
ni Breton, plutôt du Poitou !
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Peut \^etre fanf voulait il demander si la boule unité est compacte? Réponse de poche: si oui alors $g_n(x)=nx^{n-1}$ admet une sous suite convergente vers quelque $f.$ Pour simplifier les notations je suppose $g_n\rightarrow f$ et donc $$\lim_n\int_0^1|g_n(x)-f(x)|dx=0\ \Rightarrow \lim_n\int_0^{1-\epsilon}|g_n(x)-f(x)|dx=0 \ \Rightarrow \int_0^{1-\epsilon}|f(x)|dx=0 \ \Rightarrow f=0$$ ce qui contredit
$$1=\int_0^1g_n(x)dx\leq \int_0^{1}|f(x)|dx+\int_0^1|g_n(x)-f(x)|dx.$$ -
un de mes vieux amis possédait encore récemment du côté de Saint-Maixent, un magnifique Baudet répondant au doux nom d'AristoteA demon wind propelled me east of the sun
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Bonjour!
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