Fonctions continues sur [0,1]

fanf · October 2011

Bonjour.
Est ce que l'espaces des fonctions continues sur [0,1] muni de la norme 1 (intégrale sur [0,1] de la valeurs absolues de f) est compact ? Si non pourquoi ?
Merci

JLT · October 2011

A quelle condition un espace vectoriel normé est-il compact ?

christophe c · October 2011

Il voulait d'ailleurs peut-être demander "localement compact" ce à quoi ta suggestion lui donne aussi une réponse.

Sans background, fanf, il va paraitre assez difficile de trouver un sous-recouvrement fini de $f\mapsto \{g\mid 1>Norme(f-g) \}$, tu ne crois pas ?

Par contre, pour "localement compact", c'est moins évident sans background de l'infirmer. En copiant-collant Riesz, il n'y a pas d'ensemble fini F tel que toute f telle que $N(f)\leq 1$ est telle que $\exists g\in F: N(f-g)\leq 0,5$, mais étant donné un ensemble fini F c'est pas très facile de voir comment exhiber une f qui "échappe" (non, non, je n'ai pas attrapé le virus du désir de concrétude

)

ev · October 2011

Bonjour Christophe.

Il me semble qu'un evn peut-être compact. J'en ai un à la maison d'ailleurs.

amicalement,

e.v.

zephir · October 2011

Bonsoir,

On se croirait au cirque ! Le questionneur y perd le peu de latin qui lui reste.

fanf · October 2011

Je n'ai rien compris. Merci de vous être fait plaisir, mais là je ne suis pas très avancé.

LEF0 · October 2011

Bonsoir,
Je pense que ce que voulait dire JLT, c'est qu'en général un espace vectoriel normé c'est gros, donc que ça a peu de chance d'être borné (sauf cas très particulier) donc peu de chance d'être compact...

JLT · October 2011

Bon, voilà la réponse complète :

1) Un espace vectoriel normé est compact si et seulement s'il est nul. En effet, dans le cas contraire, c'est un espace métrique non borné.

2) Un espace vectoriel normé est localement compact si et seulement s'il est de dimension finie. C'est un théorème dû à Riesz. En d'autres termes la boule fermée unité est compacte si et seulement si l'espace est de dimension finie.

Ici, $C([0,1])$ muni de n'importe quelle norme est un espace vectoriel normé de dimension infinie, donc il est non compact, ni même localement compact d'après ce qui précède.

JLT · October 2011

zephir a écrit:

Le questionneur y perd le peu de latin qui lui reste.

Il y a une épreuve de latin à l'agreg de math ?

Disco · October 2011

Sais pas mais j'ai pris latin aux ENS.

remarque · October 2011

@JLT : n'espère pas compenser la géométrie par le latin !

ev · October 2011

Pour le latin, j'ai pris option cuisine. Je vous laisse parce que ça brûle.

amicalement,

e.v.

fanf · October 2011

Merci ! Un evn n'est en effet pas borné! Jamais...

ev · October 2011

Sauf un, fanf, celui que j'ai à la maison !

e.v.

Quelqu'un a un extincteur ?

gilles benson · October 2011

dada ou Breton?

JLT · October 2011

@remarque : j'ai appliqué depuis longtemps un foncteur d'oubli sur le latin (même de cuisine) mais un 0/20 pourrait servir à compenser la note négative en géométrie que m'attribue pappus.

ev · October 2011

Bonjour Gilles,

Pas dada, plutôt baudet,
ni Breton, plutôt du Poitou !

amicalement,

e.v.

Gérard Letac · October 2011

Peut \^etre fanf voulait il demander si la boule unité est compacte? Réponse de poche: si oui alors $g_n(x)=nx^{n-1}$ admet une sous suite convergente vers quelque $f.$ Pour simplifier les notations je suppose $g_n\rightarrow f$ et donc $$\lim_n\int_0^1|g_n(x)-f(x)|dx=0\ \Rightarrow \lim_n\int_0^{1-\epsilon}|g_n(x)-f(x)|dx=0 \ \Rightarrow \int_0^{1-\epsilon}|f(x)|dx=0 \ \Rightarrow f=0$$ ce qui contredit
$$1=\int_0^1g_n(x)dx\leq \int_0^{1}|f(x)|dx+\int_0^1|g_n(x)-f(x)|dx.$$