Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
86 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Fonctions continues sur [0,1]

Envoyé par fanf 
Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
Bonjour.
Est ce que l'espaces des fonctions continues sur [0,1] muni de la norme 1 (intégrale sur [0,1] de la valeurs absolues de f) est compact ? Si non pourquoi ?
Merci
JLT
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
avatar
A quelle condition un espace vectoriel normé est-il compact ?
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
Il voulait d'ailleurs peut-être demander "localement compact" ce à quoi ta suggestion lui donne aussi une réponse.

Sans background, fanf, il va paraitre assez difficile de trouver un sous-recouvrement fini de $f\mapsto \{g\mid 1>Norme(f-g) \}$, tu ne crois pas ?

Par contre, pour "localement compact", c'est moins évident sans background de l'infirmer. En copiant-collant Riesz, il n'y a pas d'ensemble fini F tel que toute f telle que $N(f)\leq 1$ est telle que $\exists g\in F: N(f-g)\leq 0,5$, mais étant donné un ensemble fini F c'est pas très facile de voir comment exhiber une f qui "échappe" (non, non, je n'ai pas attrapé le virus du désir de concrétude :D )
ev
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
avatar
Bonjour Christophe.

Il me semble qu'un evn peut-être compact. J'en ai un à la maison d'ailleurs.

amicalement,

e.v.
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
Bonsoir,

On se croirait au cirque ! Le questionneur y perd le peu de latin qui lui reste.
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
Je n'ai rien compris. Merci de vous être fait plaisir, mais là je ne suis pas très avancé.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par AD.
LeF
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
Bonsoir,
Je pense que ce que voulait dire JLT, c'est qu'en général un espace vectoriel normé c'est gros, donc que ça a peu de chance d'être borné (sauf cas très particulier) donc peu de chance d'être compact...
JLT
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
avatar
Bon, voilà la réponse complète :

1) Un espace vectoriel normé est compact si et seulement s'il est nul. En effet, dans le cas contraire, c'est un espace métrique non borné.

2) Un espace vectoriel normé est localement compact si et seulement s'il est de dimension finie. C'est un théorème dû à Riesz. En d'autres termes la boule fermée unité est compacte si et seulement si l'espace est de dimension finie.

Ici, $C([0,1])$ muni de n'importe quelle norme est un espace vectoriel normé de dimension infinie, donc il est non compact, ni même localement compact d'après ce qui précède.
JLT
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
avatar
Citation
zephir
Le questionneur y perd le peu de latin qui lui reste.

Il y a une épreuve de latin à l'agreg de math ?
Disco
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
Sais pas mais j'ai pris latin aux ENS.
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
avatar
@JLT : n'espère pas compenser la géométrie par le latin !
ev
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
avatar
Pour le latin, j'ai pris option cuisine. Je vous laisse parce que ça brûle.

amicalement,

e.v.
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
Merci ! Un evn n'est en effet pas borné! Jamais...
ev
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
avatar
Sauf un, fanf, celui que j'ai à la maison !

e.v.

Quelqu'un a un extincteur ?
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
avatar
dada ou Breton?
JLT
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
avatar
@remarque : j'ai appliqué depuis longtemps un foncteur d'oubli sur le latin (même de cuisine) mais un 0/20 pourrait servir à compenser la note négative en géométrie que m'attribue pappus.
ev
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
avatar
Bonjour Gilles,

Pas dada, plutôt baudet,
ni Breton, plutôt du Poitou !

amicalement,

e.v.
Gerard Letac
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
Peut \^etre fanf voulait il demander si la boule unité est compacte? Réponse de poche: si oui alors $g_n(x)=nx^{n-1}$ admet une sous suite convergente vers quelque $f.$ Pour simplifier les notations je suppose $g_n\rightarrow f$ et donc $$\lim_n\int_0^1|g_n(x)-f(x)|dx=0\ \Rightarrow \lim_n\int_0^{1-\epsilon}|g_n(x)-f(x)|dx=0 \ \Rightarrow \int_0^{1-\epsilon}|f(x)|dx=0 \ \Rightarrow f=0$$ ce qui contredit
$$1=\int_0^1g_n(x)dx\leq \int_0^{1}|f(x)|dx+\int_0^1|g_n(x)-f(x)|dx.$$
Re: Fonctions continues sur [0,1]
il y a huit années
avatar
un de mes vieux amis possédait encore récemment du côté de Saint-Maixent, un magnifique Baudet répondant au doux nom d'Aristote
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 143 294, Messages: 1 415 062, Utilisateurs: 26 488.
Notre dernier utilisateur inscrit papillette.


Ce forum
Discussions: 32 129, Messages: 297 692.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page