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zig-zag et nombre d'Euler

Envoyé par nolwen 
nolwen
zig-zag et nombre d'Euler
il y a deux années
Bonjour à tous.

Voici mon problème. On définit $E_n$ comme étant le nombre de permutations des entiers $1$ à $n$ telles que l'on respecte l'ordre : $x>y<z>t\ldots$ (on alterne élévation-diminution, en commençant par une diminution). Par exemple pour $n=4$, on a les séquences $2143,\ 3142,\ 3241,\ 4132,\ 4231$ (et donc $E_4 = 5$). Les nombres $E_n$ interviennent dans le développement en série entière de $\displaystyle \dfrac 1{\cos(x)} = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n}$. Ceci est une conséquence de la formule $\displaystyle \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2n}{2k}E_{2k}=0$ ($=1$ si $n=0$). Peut-on démontrer cette dernière formule par un argument de dénombrement (faisant intervenir les nombres d'Entringer, par exemple).

Merci pour vos suggestions.
Re: zig-zag et nombre d'Euler
il y a deux années
bonjour

ton développement de 1/cos(x) est exact
mais celui de ta somme algébrique des nombres d'Euler pondérés par les coefficients du binôme est erronée
le (-1)^k est de trop
les nombres d'Euler étant eux-mêmes de signe alterné,
ta somme est forcément positive et ne peut pas s'annuler quel que soit n; il s'agit en fait de

somme pour k variant de 0 à n de (2k dans 2n).E(2k) = 0

cette somme constitue d'ailleurs la relation de récurrence qui permet de passer d'un nombre d'Euler au suivant
on peut la démontrer d'une façon analytique à partir du développement du binôme:

(1 + 2p - 1)^2n = 1 + (1dans2n).(2p-1) + (2dans2n).(2p-1)² + ............+(2ndans2n).(2p-1)^2n

en sommant à l'infini d'une façon alternée on voit apparaître les nombres d'Euler multipliés par 2
quant à la démontrer par un raisonnement combinatoire c'est possible mais je ne suis pas au courant

quant aux nombres d'Entringer a(n) il s'agit alternativement des nombres de Bernoulli et des nombres d'Euler
pondérés d'un certain coefficient puisque
somme des a(n).x^n/n! = tan(x) + 1/cos(x)
leur présence dans la démonstration de ta somme algébrique est possible mais alourdit il me semble le raisonnement

cordialement



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jean lismonde.
Re: zig-zag et nombre d'Euler
il y a deux années
avatar
(tu hais toi même ce que tu es)

Cela m'émeut que même eux m'aiment
Mon nez en hume l'amusant fumet
Car Carême en eu parsemé ses mets nés
Carrément nus, par ces mets-ci
s'aimer

(poésie anonyme relevée dans le RER)
S
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