bonjour
ton développement de 1/cos(x) est exact
mais celui de ta somme algébrique des nombres d'Euler pondérés par les coefficients du binôme est erronée
le (-1)^k est de trop
les nombres d'Euler étant eux-mêmes de signe alterné,
ta somme est forcément positive et ne peut pas s'annuler quel que soit n; il s'agit en fait de
somme pour k variant de 0 à n de (2k dans 2n).E(2k) = 0
cette somme constitue d'ailleurs la relation de récurrence qui permet de passer d'un nombre d'Euler au suivant
on peut la démontrer d'une façon analytique à partir du développement du binôme:
(1 + 2p - 1)^2n = 1 + (1dans2n).(2p-1) + (2dans2n).(2p-1)² + ............+(2ndans2n).(2p-1)^2n
en sommant à l'infini d'une façon alternée on voit apparaître les nombres d'Euler multipliés par 2
quant à la démontrer par un raisonnement combinatoire c'est possible mais je ne suis pas au courant
quant aux nombres d'Entringer a(n) il s'agit alternativement des nombres de Bernoulli et des nombres d'Euler
pondérés d'un certain coefficient puisque
somme des a(n).x^n/n! = tan(x) + 1/cos(x)
leur présence dans la démonstration de ta somme algébrique est possible mais alourdit il me semble le raisonnement
cordialement
Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par jean lismonde.
