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valeurs propres du laplacien
Bonjour, Je considère le domaine borné  et l'espace de Hilbert  Soit l'opérateur  dont le domaine est  Je cherche les valeurs propres de cet opérateur : Si je cherche à résoudre l'équation différentielle  dans le monde des fonctions régulières, je trouve une infinité de valeurs propres  associées aux vecteurs propres  Mais comment savoir qu'il n'y a pas d'autres valeurs propres associées à des vecteurs propres moins réguliers ? Merci d'avance. Code LaTeX
Bonjour,
Je considère le domaine borné $\Omega= ( 0,L )$ et l'espace de Hilbert $H=L^2(\Omega)$
Soit l'opérateur $A=-\Delta$ dont le domaine est $D(A)=H^1_0(\Omega) \cap H^2(\Omega)$
Je cherche les valeurs propres de cet opérateur :
Si je cherche à résoudre l'équation différentielle $-u''=\lambda u$ dans le monde des fonctions régulières, je trouve une infinité de valeurs propres $\lambda_k=(\frac{k \pi}{L})^2$ associées aux vecteurs propres $u_k(x)=\sin(\frac{k \pi}{L}x)$
Mais comment savoir qu'il n'y a pas d'autres valeurs propres associées à des vecteurs propres moins réguliers ?
Merci d'avance.
Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/02/2012 par AD.
Non, car la famille obtenue est totale. De toutes façons, la régularité elliptique implique des fonctions propres de classe  . Code LaTeX
Non, car la famille obtenue est totale. De toutes façons, la régularité elliptique implique des fonctions propres de classe $C^\infty$.
Et que dit exactement ce théorème de régularité elliptique ?
Bonjour, grosso modo, si tu as une fonction  sur un domaine  borné régulier de  qui vérifie  et  alors, si  (resp.  espace de Hölder,  ,  ), alors  (resp.  ). En appliquant ceci de façon récursive, tu peux prouver que les valeurs propres du laplacien sont  . Si tu veux rechercher un peu de doc sur le sujet, il y a bien sûr des résultats plus généraux avec un opérateur elliptique ou avec des estimations des "traces" pour les fonctions non nulles sur le bord. Code LaTeX
Bonjour,
grosso modo, si tu as une fonction $u$ sur un domaine $\Omega$ borné régulier de $\mathbb{R}^n$ qui vérifie
$-\Delta u=f$ et $
u\in H^1_0$
alors, si $f\in H^k$ (resp. $C^{s,\alpha}$ espace de Hölder, $\alpha\in(0,1)$, $s\in\mathbb{N}$), alors $u\in H^{k+2}$ (resp. $C^{s+2,\alpha}$). En appliquant ceci de façon récursive, tu peux prouver que les valeurs propres du laplacien sont $C^\infty$.
Si tu veux rechercher un peu de doc sur le sujet, il y a bien sûr des résultats plus généraux avec un opérateur elliptique ou avec des estimations des "traces" pour les fonctions non nulles sur le bord.
Oui. Ici, on est en dimension 1 et c'est plus simple. Si  avec  , cela implique que  , donc  . Mais alors,  , donc  . Mais alors,  , donc  . Mais alors... finalement  . Code LaTeX
Oui. Ici, on est en dimension 1 et c'est plus simple. Si $-u''=\lambda u$ avec $u\in H^1$, cela implique que $u''\in H^1$, donc $u\in H^3$. Mais alors, $u''\in H^3$, donc $u\in H^5$. Mais alors, $u''\in H^5$, donc $u\in H^7$. Mais alors... finalement $u\in \cap_k H^k=C^\infty$.
Bonne nuit,
Dans ce cas simple, on doit pouvoir montrer que les solutions distributions sont les solutions classiques ? Non ?
En dimension 2 ou 3, les valeurs propres du laplacien sont détaillées dans Dautray-Lions (le volume n° 2 sur le laplacien, I suppose).
Bien cordialement.
Citation
Dans ce cas simple, on doit pouvoir montrer que les solutions distributions sont les solutions classiques ? Non ?
Oui, puisque localement toute distribution est dans un  , donc localement on finit par remonter à  par bootstrap comme plus haut et de là vers  et au delà ! Code LaTeX
Citation
Dans ce cas simple, on doit pouvoir montrer que les solutions distributions sont les solutions classiques ? Non ?
Oui, puisque localement toute distribution est dans un $H^{-k}$, donc localement on finit par remonter à $L^2$ par bootstrap comme plus haut et de là vers $C^\infty$ et au delà !
Citation
remarquevers  et au delà !
Celle-là je la garde. amicalement, e.v. Code LaTeX
Citation
remarque
vers $ C^\infty$ et au delà !
Celle-là je la garde.
amicalement,
e.v.
Ca marcherait mieux si c'était "vers  et au-delà" mais je ne vais pas faire la fine bouche. Quel âge ont les enfants ?  Code LaTeX
Ca marcherait mieux si c'était "vers $\ell^{\infty}$ et au-delà" mais je ne vais pas faire la fine bouche.
Quel âge ont les enfants ?
Ok . Merci beaucoup à tous
Bonjour, j'ai une nouvelle question, cette fois ci au sujet du spectre du laplacien . J'ai montré que  On me demande de déduire de cela que le spectre de mon opérateur  est inclu dans  Code LaTeX
Bonjour,
j'ai une nouvelle question, cette fois ci au sujet du spectre du laplacien .
J'ai montré que $\forall u \in H^1_0((0,L)) ||u'||^2 \geq (\frac{\pi}{L})^2 ||u||^2 $
On me demande de déduire de cela que le spectre de mon opérateur $H=-\Delta$ est inclu dans$[(\frac{\pi}{L})^2,+\infty($
Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par izoard.
Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/02/2012 par izoard.
Prends une fonction propre associée à une valeur propre  , multiplie l'équation par cette même fonction propre et intègre. Code LaTeX
Prends une fonction propre associée à une valeur propre $\lambda$, multiplie l'équation par cette même fonction propre et intègre.
Après calculs j'arrive à  Code LaTeX
Après calculs j'arrive à $\int_{0}^{L} (\Phi_k')^2 = \lambda_k\int_{0}^{L} (\Phi_k)^2$
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Modifié 2 fois. Dernière modification le 21/02/2012 par izoard.
Oui, et donc ? (Il y a une erreur dans ton inégalité, en plus des  qui deviennent des  ou des  ). Code LaTeX
Oui, et donc ? (Il y a une erreur dans ton inégalité, en plus des $u$ qui deviennent des $\phi$ ou des $\Phi$).
Ah oui j'avais mal recopié  Du coup c'est facile :  D'où le résultat Code LaTeX
Ah oui j'avais mal recopié
Du coup c'est facile :
$\lambda_k \int_{0}^{L} (\Phi_k)^2 \geq (\frac{\pi}{L})^2 \int_{0}^{L} (\Phi_k)^2$
D'où le résultat
Bonsoir,
je reviens sur la première réponse de remarque : en quoi le fait que la famille soit totale implique-t-il qu'il n'y a pas d'autre vecteurs propres ?
C.
Parce que les fonctions propres associées à des valeurs propres différentes sont orthogonales deux à deux.
Merci pour la précision.
C.
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