valeurs propres du laplacien

izoard · February 2012

Bonjour,
Je considère le domaine borné $\Omega= ( 0,L )$ et l'espace de Hilbert $H=L^2(\Omega)$
Soit l'opérateur $A=-\Delta$ dont le domaine est $D(A)=H^1_0(\Omega) \cap H^2(\Omega)$

Je cherche les valeurs propres de cet opérateur :

Si je cherche à résoudre l'équation différentielle $-u''=\lambda u$ dans le monde des fonctions régulières, je trouve une infinité de valeurs propres $\lambda_k=(\frac{k \pi}{L})^2$ associées aux vecteurs propres $u_k(x)=\sin(\frac{k \pi}{L}x)$

Mais comment savoir qu'il n'y a pas d'autres valeurs propres associées à des vecteurs propres moins réguliers ?

Merci d'avance.

remarque · February 2012

Non, car la famille obtenue est totale. De toutes façons, la régularité elliptique implique des fonctions propres de classe $C^\infty$.

izoard · February 2012

Et que dit exactement ce théorème de régularité elliptique ?

PierreD · February 2012

Bonjour,
grosso modo, si tu as une fonction $u$ sur un domaine $\Omega$ borné régulier de $\mathbb{R}^n$ qui vérifie
$-\Delta u=f$ et $
u\in H^1_0$
alors, si $f\in H^k$ (resp. $C^{s,\alpha}$ espace de Hölder, $\alpha\in(0,1)$, $s\in\mathbb{N}$), alors $u\in H^{k+2}$ (resp. $C^{s+2,\alpha}$). En appliquant ceci de façon récursive, tu peux prouver que les valeurs propres du laplacien sont $C^\infty$.
Si tu veux rechercher un peu de doc sur le sujet, il y a bien sûr des résultats plus généraux avec un opérateur elliptique ou avec des estimations des "traces" pour les fonctions non nulles sur le bord.

remarque · February 2012

Oui. Ici, on est en dimension 1 et c'est plus simple. Si $-u''=\lambda u$ avec $u\in H^1$, cela implique que $u''\in H^1$, donc $u\in H^3$. Mais alors, $u''\in H^3$, donc $u\in H^5$. Mais alors, $u''\in H^5$, donc $u\in H^7$. Mais alors... finalement $u\in \cap_k H^k=C^\infty$.

C. de Pluquaire · February 2012

Bonne nuit,

Dans ce cas simple, on doit pouvoir montrer que les solutions distributions sont les solutions classiques ? Non ?
En dimension 2 ou 3, les valeurs propres du laplacien sont détaillées dans Dautray-Lions (le volume n° 2 sur le laplacien, I suppose).

Bien cordialement.

remarque · February 2012

Dans ce cas simple, on doit pouvoir montrer que les solutions distributions sont les solutions classiques ? Non ?

Oui, puisque localement toute distribution est dans un $H^{-k}$, donc localement on finit par remonter à $L^2$ par bootstrap comme plus haut et de là vers $C^\infty$ et au delà !

ev · February 2012

remarque a écrit:

vers $ C^\infty$ et au delà !

Celle-là je la garde.

amicalement,

e.v.

tt · February 2012

Ca marcherait mieux si c'était "vers $\ell^{\infty}$ et au-delà" mais je ne vais pas faire la fine bouche.

Quel âge ont les enfants ?

izoard · February 2012

Ok . Merci beaucoup à tous

izoard · February 2012

Bonjour,
j'ai une nouvelle question, cette fois ci au sujet du spectre du laplacien .

J'ai montré que $\forall u \in H^1_0((0,L)) ||u'||^2 \geq (\frac{\pi}{L})^2 ||u||^2 $

On me demande de déduire de cela que le spectre de mon opérateur $H=-\Delta$ est inclu dans$[(\frac{\pi}{L})^2,+\infty($

remarque · February 2012

Prends une fonction propre associée à une valeur propre $\lambda$, multiplie l'équation par cette même fonction propre et intègre.

izoard · February 2012

Après calculs j'arrive à $\int_{0}^{L} (\Phi_k')^2 = \lambda_k\int_{0}^{L} (\Phi_k)^2$

remarque · February 2012

Oui, et donc ? (Il y a une erreur dans ton inégalité, en plus des $u$ qui deviennent des $\phi$ ou des $\Phi$).

izoard · February 2012

Ah oui j'avais mal recopié :S
Du coup c'est facile :
$\lambda_k \int_{0}^{L} (\Phi_k)^2 \geq (\frac{\pi}{L})^2 \int_{0}^{L} (\Phi_k)^2$
D'où le résultat

remarque · February 2012

(tu)

izoard · February 2012

Merci !!

Clarkson · February 2012

Bonsoir,

je reviens sur la première réponse de remarque : en quoi le fait que la famille soit totale implique-t-il qu'il n'y a pas d'autre vecteurs propres ?

C.