valeurs propres du laplacien
Bonjour,
Je considère le domaine borné $\Omega= ( 0,L )$ et l'espace de Hilbert $H=L^2(\Omega)$
Soit l'opérateur $A=-\Delta$ dont le domaine est $D(A)=H^1_0(\Omega) \cap H^2(\Omega)$
Je cherche les valeurs propres de cet opérateur :
Si je cherche à résoudre l'équation différentielle $-u''=\lambda u$ dans le monde des fonctions régulières, je trouve une infinité de valeurs propres $\lambda_k=(\frac{k \pi}{L})^2$ associées aux vecteurs propres $u_k(x)=\sin(\frac{k \pi}{L}x)$
Mais comment savoir qu'il n'y a pas d'autres valeurs propres associées à des vecteurs propres moins réguliers ?
Merci d'avance.
Je considère le domaine borné $\Omega= ( 0,L )$ et l'espace de Hilbert $H=L^2(\Omega)$
Soit l'opérateur $A=-\Delta$ dont le domaine est $D(A)=H^1_0(\Omega) \cap H^2(\Omega)$
Je cherche les valeurs propres de cet opérateur :
Si je cherche à résoudre l'équation différentielle $-u''=\lambda u$ dans le monde des fonctions régulières, je trouve une infinité de valeurs propres $\lambda_k=(\frac{k \pi}{L})^2$ associées aux vecteurs propres $u_k(x)=\sin(\frac{k \pi}{L}x)$
Mais comment savoir qu'il n'y a pas d'autres valeurs propres associées à des vecteurs propres moins réguliers ?
Merci d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
grosso modo, si tu as une fonction $u$ sur un domaine $\Omega$ borné régulier de $\mathbb{R}^n$ qui vérifie
$-\Delta u=f$ et $
u\in H^1_0$
alors, si $f\in H^k$ (resp. $C^{s,\alpha}$ espace de Hölder, $\alpha\in(0,1)$, $s\in\mathbb{N}$), alors $u\in H^{k+2}$ (resp. $C^{s+2,\alpha}$). En appliquant ceci de façon récursive, tu peux prouver que les valeurs propres du laplacien sont $C^\infty$.
Si tu veux rechercher un peu de doc sur le sujet, il y a bien sûr des résultats plus généraux avec un opérateur elliptique ou avec des estimations des "traces" pour les fonctions non nulles sur le bord.
Dans ce cas simple, on doit pouvoir montrer que les solutions distributions sont les solutions classiques ? Non ?
En dimension 2 ou 3, les valeurs propres du laplacien sont détaillées dans Dautray-Lions (le volume n° 2 sur le laplacien, I suppose).
Bien cordialement.
Oui, puisque localement toute distribution est dans un $H^{-k}$, donc localement on finit par remonter à $L^2$ par bootstrap comme plus haut et de là vers $C^\infty$ et au delà !
amicalement,
e.v.
Quel âge ont les enfants ?
j'ai une nouvelle question, cette fois ci au sujet du spectre du laplacien .
J'ai montré que $\forall u \in H^1_0((0,L)) ||u'||^2 \geq (\frac{\pi}{L})^2 ||u||^2 $
On me demande de déduire de cela que le spectre de mon opérateur $H=-\Delta$ est inclu dans$[(\frac{\pi}{L})^2,+\infty($
Du coup c'est facile :
$\lambda_k \int_{0}^{L} (\Phi_k)^2 \geq (\frac{\pi}{L})^2 \int_{0}^{L} (\Phi_k)^2$
D'où le résultat
je reviens sur la première réponse de remarque : en quoi le fait que la famille soit totale implique-t-il qu'il n'y a pas d'autre vecteurs propres ?
C.
C.