démonstration d'une convergence

delphinec77 · February 2012

Bonjour,

J'ai un DM à rendre la semaine prochaine. Mon prof adore les démonstration, souhaite que l'on pose de définition et des théorèmes...
la quesiton est :
Démontrer que la suite (Un) n appartient à N*, telle que Un = 1 / n converge vers 0

En cours on a fait la démonstration pour Un = 1 / n - 1

Soit E quelconque, positif, aussi petit que l'on veut.
Existe-t-il n0, telque quelque soit n >= n0

I Un - l I < E
I Un - 1 I < E

I Un - 1 I = I 1/n + 1 - 1 I = I 1/n I = 1/n

S'il existe-t-il no, tel que pour tout n>= no, I Un - 1 I <= 0,5
nO =2
Donc pour tout n0 = 2, I Un - 1 I >= 0,5
1/n + 1 - 1 = 1/n >= 0,5 si n >= 2

I Un-1I <= E
1/n <= E
n0 = 1/E
I Un - 1 I <+ E
donc lim Un = 1
n -> + l'infini

1/n <= 1/n0 = E

Pour tout n>= n0
n -> + l'infini

I Un - 1 I <= 0,5
limite = 1

Si quelqu'un comprend comment il fait ses démonstration, et peut m'aider à faire la même chose pour 1/n ca m'aiderait vraiment....

Merci

gerard0 · February 2012

Bonjour.

Je dois dire que cette suite d'inégalités sans explications est assez loin d'une démonstration. Mais comme pour montrer que $\frac 1 n +1$ (et pas $\frac 1 n -1$, sinon la suite n'a pas de sens) tend vers 1, tu montres que $\frac 1 n$ tend vers 0, tu as déjà la démonstration.
Sauf que "n0 = 1/E " est une énormité, car E étant quelconque, 1/E n'est généralement pas un entier.

Donc : A retenir : Une démonstration n'est pas une suite de phrases mathématiques posées les unes à côté des autres, mais une explication rigoureuse (avec les phrases en français ou les liens logiques nécessaires).
Et écrire à la suite des explications, une preuve (mal écrite) puis une copie maladroite censée être une autre preuve n'est pas une activité sérieuse.

Donc : A faire : Repérer dans ton fatras du début où est la preuve, et la rédiger correctement (celle pour $\frac 1 n +1$), en reliant à la définition.

Bon travail !

Fin de partie · February 2012

A) Si E>1 pour quelle valeur de n>0 a-t-on 1/n<E? B-)-

Si E<1 résoudre l'inégalité 1/x<E , où E est fixé et x l'inconnue.

C) Si E<1 comparer 1/E et 1.
D) Conclure.

En espérant ne pas avoir écrit (trop) d'énormités.

delphinec77 · February 2012

Merci pour vos réponses.
C'est vrai que je ne suis pas douée en maths... j pensais les avoir quitté il y a 10 ans, mais en reprenant les études, elles m'ont retrouvé !
Bref... je galère vraiment, merci pour votre aide:)

gerard0 · February 2012

Alors, je reprends la preuve pour $u_n=\frac 1 n -1$ (j'ai repris ton écriture initiale).
Réflexion préalable :
Intuitivement, la limite est -1 puisque quand n va grandir, $\frac 1 n$ va devenir de plus en plus petit (proche de 0). $U_n-(-1)= \frac 1 n$ et il va falloir rendre cela plus petit qu'un $\epsilon >0$ quelconque. Mais $\frac 1 n <\epsilon$ donne $n >\frac 1 \epsilon$.

Preuve :
Soit $\epsilon >0$ quelconque. Appelons $n_0$ un entier strictement supérieur à $\frac 1 \epsilon$. Alors :
$\displaystyle n\ge n_0 \Rightarrow n \ge \frac 1 \epsilon$. (1)
$\displaystyle n\ge n_0 \Rightarrow \frac 1 n <\epsilon$. (2)
$\displaystyle n\ge n_0 \Rightarrow \vert u_n-(-1)\vert<\epsilon$
Car $\displaystyle \vert u_n-(-1)\vert=\vert \frac 1 n\vert=\frac 1 n$
Donc $u_n\to -1$.

Maintenant, tu as aussi la réponse à ta question, car la ligne 2 donne la conclusion voulue.

Cordialement.

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